Questão 26. Se k é o maior intero positivo para o qual o número N=\left(2^{k}\right) .\left(5^{2001}\right) quando desenvolvido possui 2005 algarismos, a soma dos algarismos de N é:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20

Passo 1

Enunciado e o que nos dão:
  • Temos um inteiro positivo k e o número
N=\left(2^{k}\right)\cdot\left(5^{2001}\right).
  • Dizem que k é o maior inteiro positivo tal que, ao desenvolver N, ele possui 2005 algarismos.
  • Pedido: encontrar a soma dos algarismos de N.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número total de algarismos de N é 2005.
  • Queremos o maior k com essa propriedade e, usando esse k, obter a soma dos algarismos de N.

Passo 2

Observação básica e ferramenta principal (explicação didática): multiplicar por potências de 10 só acrescenta zeros à direita do número, não muda a soma dos algarismos da parte não-zero. Mais formalmente, se um inteiro positivo m tem d algarismos então vale
10^{d-1}\le m \le 10^{d}-1.
Assim, para contar algarismos de um produto que contém fatores 2 e 5 convém agrupar potências para formar potências de 10. Vou usar essa ideia para reescrever N de forma conveniente.

Passo 3

Reescrevendo N conforme o valor relativo de k:
Se k\ge 2001 então podemos escrever
N = 2^{k}\,5^{2001} = 2^{k-2001}\cdot(2^{2001}5^{2001}) = 2^{k-2001}\cdot 10^{2001}.
Se k\le 2001 então
N = 2^{k}\,5^{2001} = 5^{2001-k}\cdot(2^{k}5^{k}) = 5^{2001-k}\cdot 10^{k}.
Em ambas as formas, a parte que não é potência de 10 é 2^{k-2001} (no caso k\ge2001) ou 5^{2001-k} (no caso k\le2001). Multiplicar por 10^{\text{algo}} só desloca o número para a esquerda (acrescenta zeros à direita), portanto o número total de algarismos é a soma dos algarismos da parte não-dez com o expoente da potência de 10.

Passo 4

Usando que N tem exatamente 2005 algarismos, vamos analisar qual caso pode ocorrer. Se k\le 2001, então a parte não-dez é 5^{2001-k} e os algarismos totais seriam
\text{alg}(N)=\text{alg}\bigl(5^{2001-k}\bigr)+k.
Como queremos \text{alg}(N)=2005, teríamos \text{alg}\bigl(5^{2001-k}\bigr)=2005-k. Note que 2005-k\ge 2005-2001=4. Então seria preciso que 5^{2001-k} tivesse pelo menos 4 algarismos. Isso é possível, mas vamos procurar o maior k: aumentar k (quando k\le2001) aumenta a parcela +k e diminui o expoente de 5; no entanto o maior k possível que ainda respeita k\le2001 é k=2001. Para k=2001 temos N=2^{2001}5^{2001}=10^{2001}, que tem exatamente 2002 algarismos (um 1 seguido de 2001 zeros), então não chega a 2005. Portanto o caso k\le2001 não permite atingir 2005 algarismos. Concluímos que deve ocorrer k>2001.

Passo 5

Como k>2001, usamos a forma
N = 2^{k-2001}\cdot 10^{2001}.
O número total de algarismos é
\text{alg}(N)=\text{alg}\bigl(2^{k-2001}\bigr)+2001.
Queremos \text{alg}(N)=2005, logo
\text{alg}\bigl(2^{k-2001}\bigr)=2005-2001=4.
Pelo critério de algarismos, isso significa
1000 \le 2^{k-2001} \le 9999.

Passo 6

Agora determinamos quais expoentes e=k-2001 satisfazem 1000\le 2^{e}\le 9999. Vamos listar potências de 2 próximas:
2^{9}=512,\quad 2^{10}=1024,\quad 2^{11}=2048,\quad 2^{12}=4096,\quad 2^{13}=8192,\quad 2^{14}=16384.
Dessas, somente 2^{10},2^{11},2^{12},2^{13} estão entre 1000 e 9999. Ou seja,
e\in\{10,11,12,13\}.
Lembrando e=k-2001, temos
k\in\{2001+10,\;2001+11,\;2001+12,\;2001+13\}=\{2011,2012,2013,2014\}.
O enunciado pede o maior inteiro k com a propriedade, então escolhemos
k_{\max}=2014.

Passo 7

Com k=2014 calculamos N. Usando a fatoração já feita:
N = 2^{2014}\,5^{2001} = 2^{2014-2001}\cdot 10^{2001} = 2^{13}\cdot 10^{2001}.
E 2^{13}=8192. Portanto
N = 8192\cdot 10^{2001},
isto é, na forma decimal N é o número 8192 seguido de 2001 zeros.

Passo 8

Agora a soma dos algarismos de N: como N é 8192 seguido de zeros, a soma dos algarismos é simplesmente a soma dos algarismos de 8192:
8+1+9+2 = 20.

Resposta

20

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