Questão 26. Se
é o maior intero positivo para o qual o número
quando desenvolvido possui 2005 algarismos, a soma dos algarismos de N é:
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
Passo 1
Enunciado e o que nos dão:
- Temos um inteiro positivo
e o número
- Dizem que
é o maior inteiro positivo tal que, ao desenvolver , ele possui algarismos. - Pedido: encontrar a soma dos algarismos de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O número total de algarismos de
é . - Queremos o maior
com essa propriedade e, usando esse , obter a soma dos algarismos de .
Passo 2
Observação básica e ferramenta principal (explicação didática): multiplicar por potências de
só acrescenta zeros à direita do número, não muda a soma dos algarismos da parte não-zero. Mais formalmente, se um inteiro positivo
tem
algarismos então vale
Assim, para contar algarismos de um produto que contém fatores
e
convém agrupar potências para formar potências de
. Vou usar essa ideia para reescrever
de forma conveniente.
Passo 3
Reescrevendo
conforme o valor relativo de
:
Se então podemos escrever
Se
Se
então
Em ambas as formas, a parte que não é potência de
é
(no caso
) ou
(no caso
). Multiplicar por
só desloca o número para a esquerda (acrescenta zeros à direita), portanto o número total de algarismos é a soma dos algarismos da parte não-dez com o expoente da potência de
.
Passo 4
Usando que
tem exatamente
algarismos, vamos analisar qual caso pode ocorrer. Se
, então a parte não-dez é
e os algarismos totais seriam
Como queremos
, teríamos
. Note que
. Então seria preciso que
tivesse pelo menos
algarismos. Isso é possível, mas vamos procurar o maior
: aumentar
(quando
) aumenta a parcela
e diminui o expoente de
; no entanto o maior
possível que ainda respeita
é
. Para
temos
, que tem exatamente
algarismos (um 1 seguido de
zeros), então não chega a
. Portanto o caso
não permite atingir
algarismos. Concluímos que deve ocorrer
.
Passo 5
Como
, usamos a forma
O número total de algarismos é
Queremos
, logo
Pelo critério de algarismos, isso significa
Passo 6
Agora determinamos quais expoentes
satisfazem
. Vamos listar potências de
próximas:
Dessas, somente
estão entre
e
. Ou seja,
Lembrando
, temos
O enunciado pede o maior inteiro
com a propriedade, então escolhemos
Passo 7
Com
calculamos
. Usando a fatoração já feita:
E
. Portanto
isto é, na forma decimal
é o número
seguido de
zeros.
Passo 8
Agora a soma dos algarismos de
: como
é
seguido de zeros, a soma dos algarismos é simplesmente a soma dos algarismos de
:
Resposta
20