Questão 19. Um título do valor de \mathrm{R} \ 20.000,00 foi saldado três meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto comercial composto aplicada foi deê10 %$ a.m. Qual o valor recebido?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir:
  • Título com valor nominal (valor de face): R\$\,20.000,00.
  • O título foi saldado (descontado) 3 meses antes do vencimento.
  • A taxa de desconto comercial composto aplicada é 10\% ao mês.
  • Pergunta: qual o valor recebido (isto é, qual o valor presente, após aplicar o desconto comercial composto)?

Passo 2

Entendendo o que é “desconto comercial composto” (explicação didática):
  • No desconto comercial (também chamado de “desconto por fora”), o banco calcula o desconto sempre sobre o valor nominal F.
  • No modo composto, esse desconto se aplica de forma multiplicativa a cada período. Ou seja, a cada mês o valor é reduzido por um fator 1-d, onde d é a taxa de desconto por período.
  • Assim, após n períodos, o valor recebido P é dado pela fórmula abaixo, que vamos usar aqui (essa é a fórmula do desconto comercial composto):
P = F(1-d)^{n}.
Agora explico cada símbolo:
  • P: valor recebido hoje (valor descontado, presente).
  • F: valor nominal (valor futuro, face), no enunciado F = R\$\,20.000,00.
  • d: taxa de desconto por período, em forma decimal (por exemplo 10\% corresponde a d=0,10).
  • n: número de períodos (no enunciado n=3 meses).
Observação rápida (para não confundir): existe também o desconto racional (ou desconto composto “por dentro”), cuja fórmula é P=F/(1+i)^{n}. Mas o enunciado pede explicitamente desconto comercial composto, então usamos P=F(1-d)^{n}.

Passo 3

Substituindo os dados do enunciado na fórmula:
  • F = R\$\,20.000,00.
  • d = 10\% = 0,10.
  • n = 3.
Primeiro calculemos 1-d:
1-d = 1-0,10 = 0,90.

Passo 4

Agora elevamos esse fator ao cubo (porque são 3 meses):
(1-d)^{3} = (0,90)^{3}.
Calcule passo a passo:
(0,90)^{2} = 0,90\times0,90 = 0,81,
(0,90)^{3} = 0,81\times0,90 = 0,729.

Passo 5

Multiplicamos pelo valor nominal para obter o valor recebido:
P = F(1-d)^{n} = R\$\,20.000,00 \times 0,729.
Efetuando a multiplicação:
R\$\,20.000,00 \times 0,729 = R\$\,14.580,00.

Passo 6

(Informação adicional útil na prova) O valor do desconto cobrado é a diferença entre o nominal e o que foi recebido:
D = F - P = R\$\,20.000,00 - R\$\,14.580,00 = R\$\,5.420,00.

Resposta

R\$\,14.580,00

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