Questão 19. Calcule a integral \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}. Dica: converta a integral \left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)\left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}} d y\right) em coordenadas polares, e chegue em uma integral simples.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
I=\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx
e dá a dica de considerar o produto
I\cdot I=\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}}\,dy\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é e^{-x^{2}} e o intervalo é x\in[0,\infty).
  • A dica sugere transformar o produto das integrais numa integral dupla e usar coordenadas polares.
  • A integral é própria e convergente porque a função e^{-x^{2}} é positiva e decai rápido quando x\to\infty.

Passo 2

Defino I e escrevo o quadrado como integral dupla. Seja
I=\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx.
Então
I^{2}=\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}}\,dy\right).
Como o integrando é não negativo, pelo teorema de Fubini/Tonelli (troca de ordem e produto para integrais não negativas) posso combinar em uma integral dupla sobre o primeiro quadrante:
I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.
Aqui vou trabalhar com essa integral dupla e converter para coordenadas polares.

Passo 3

Explico a mudança para coordenadas polares e o jacobiano. Em coordenadas polares usa-se as transformações
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e 0\le\theta\le 2\pi em geral. O elemento de área dx\,dy transforma-se em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
onde o fator r é o jacobiano da transformação (ele aparece porque pequenos retângulos em (x,y) viram aproximadamente retângulos de lados dr e r\,d\theta em polares). No nosso caso a região de integração é o primeiro quadrante: x\ge0,\\ y\ge0, que em polares corresponde a
r\in[0,\infty),\qquad \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 4

Faço a substituição na integral dupla. Como x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, obtemos
I^{2}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\, r\,dr\,d\theta.
Note que a integranda agora depende só de r, não de \theta, então é natural separar as integrais em r e \theta.

Passo 5

Calculo a integral em r. Primeiro faço a integral interna
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\, r\,dr.
Faço a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{2}. Quando r vai de 0 a \infty, u vai de 0 a \infty. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\, r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du.
Agora a integral exponencial é simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty} = 1.
Logo
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\, r\,dr = \frac{1}{2}.

Passo 6

Substituo o resultado da integral em r na integral em \theta. Temos
I^{2}=\int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{1}{2}\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 7

Tomo a raiz quadrada para obter I. Como I é uma integral de uma função positiva, I\ge0, então
I=\sqrt{I^{2}}=\sqrt{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
Isso conclui o cálculo. Uma observação extra rápida: a mesma técnica aplicada integrando de -\infty a \infty em x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}, e a nossa integral é exatamente a metade disso por simetria.

Resposta

\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

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