Questão 19. Calcule a integral
. Dica: converta a integral
em coordenadas polares, e chegue em uma integral simples.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
e dá a dica de considerar o produto
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
e o intervalo é . - A dica sugere transformar o produto das integrais numa integral dupla e usar coordenadas polares.
- A integral é própria e convergente porque a função
é positiva e decai rápido quando .
Passo 2
Defino
e escrevo o quadrado como integral dupla. Seja
Então
Como o integrando é não negativo, pelo teorema de Fubini/Tonelli (troca de ordem e produto para integrais não negativas) posso combinar em uma integral dupla sobre o primeiro quadrante:
Aqui vou trabalhar com essa integral dupla e converter para coordenadas polares.
Passo 3
Explico a mudança para coordenadas polares e o jacobiano. Em coordenadas polares usa-se as transformações
onde
e
em geral. O elemento de área
transforma-se em
onde o fator
é o jacobiano da transformação (ele aparece porque pequenos retângulos em
viram aproximadamente retângulos de lados
e
em polares). No nosso caso a região de integração é o primeiro quadrante:
, que em polares corresponde a
Passo 4
Faço a substituição na integral dupla. Como
e
, obtemos
Note que a integranda agora depende só de
, não de
, então é natural separar as integrais em
e
.
Passo 5
Calculo a integral em
. Primeiro faço a integral interna
Faço a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Agora a integral exponencial é simples:
Logo
Passo 6
Substituo o resultado da integral em
na integral em
. Temos
Passo 7
Tomo a raiz quadrada para obter
. Como
é uma integral de uma função positiva,
, então
Isso conclui o cálculo. Uma observação extra rápida: a mesma técnica aplicada integrando de
a
em
dá
, e a nossa integral é exatamente a metade disso por simetria.