Questão 17. Resolva a equação da difusão com a condição inicial
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: a condição inicial é
(O valor em
não altera a solução essencialmente, é um conjunto de medida zero.)
- Pedido: “Resolver a equação da difusão” — vou considerar a equação da difusão clássica no eixo real com coeficiente de difusão
:
com condição inicial
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem cálculos ainda).
-
Método escolhido: usar a solução fundamental (o chamado núcleo ou kernel de calor) e escrever a solução como convolução da condição inicial com esse núcleo. Essa abordagem é natural para a linha inteira e dá uma fórmula explícita.
-
Intuição: a equação da difusão espalha (suaviza) a função inicial; o núcleo fundamental é uma gaussiana cuja largura cresce com o tempo. Convoluindo a função inicial com essa gaussiana obtemos a solução para qualquer
.
Passo 3
Apresentar o núcleo fundamental e justificar por que a convolução resolve o problema.
- O núcleo fundamental da equação do calor com coeficiente
é a função
-
Propriedades importantes de
: -
satisfaz para . - Normalização:
para todo . - Limite inicial:
(delta de Dirac) quando no sentido de distribuições.
-
-
Consequência: a solução da equação da difusão com condição inicial
é dada por convolução
Essa fórmula resolve o problema porque convolução com o núcleo fundamental transforma a condição inicial em solução suave que satisfaz a PDE e converge à condição inicial quando
.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso específico da função inicial indicador do intervalo
.
- Como
para e fora, a integral fica limitada ao intervalo :
Passo 5
Calcular explicitamente a integral e expressá-la em função da função erro
.
- Fazer a mudança de variável
Então
Quando
temos
. Quando
temos
.
- Substituindo na integral:
- Simplificar os fatores numéricos:
- Usar a definição da função erro:
Logo, para quaisquer
,
- Aplicando isso aqui obtemos a forma fechada
Passo 6
Interpretações e verificações rápidas (como usar isso na prova).
-
Verificação do limite inicial: para
, - se
então e , daí , recuperando . - se
então ambos os argumentos tendem para sinais iguais (ambos ou ambos ) e a diferença das erfs tende a , recuperando . - em
obtém-se , padrão de descontinuidade suavizada (valor médio).
- se
-
Conservação de massa:
para todo , como esperado para difusão sem perdas. -
Forma alternativa útil na prova: a solução também pode ser deixada como a convolução integral
caso se queira manipular a integral em vez da
.