Questão 19. Considere a matriz
Resolva simultaneamente os itens a e b e depois use a matriz inversa para resolver o item c.
a) Encontre, se existir, a inversa da matriz A.
b) Calcule det A.
c) Resolva o sistema A X=b, onde b^t=(2,-1,1,-4).
e pede:
a) a inversa de A (se existir),
b) det A,
c) usando A^-1, resolver A,X=b com b^t=(2,-1,1,-4).
Vamos primeiro checar det A para saber se a inversa existe e depois usar eliminação de Gauss-Jordan para obter A^-1. Por fim, calculamos X=A^-1b.
Passo 2
Para calcular det A, usamos expansão pelo elemento não nulo da terceira linha (único não nulo em a3,4=1), lembrando o sinal (-1)^3+4=-1. O menor associado é a matriz formada pelas linhas 1,2,4 e colunas 1,2,3:
M = 1 & 2 & 4 0 & 1 & 2 1 & 0 & 5
Calculamos
det M = 1cdotl(1cdot5-2cdot0r) -2cdotl(0cdot5-2cdot1r) +4cdotl(0cdot0-1cdot1r) =5 -2(-2) +4(-1) =5+4-4=5
Logo
det A = -1 times det M = -5
Como det Aneq0, A é invertível.
Passo 3
Construímos [Amid I] e aplicamos Gauss–Jordan. Após pivoteamentos e eliminações (detalhes omitidos), chegamos a [Imid A^-1] com