Questão 19. Considere a matriz A=[cccc1 & 2 & 4 & 3 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 5 & 0]
Resolva simultaneamente os itens a e b e depois use a matriz inversa para resolver o item c.
a) Encontre, se existir, a inversa da matriz A.
b) Calcule det A.
c) Resolva o sistema A X=b, onde b^t=(2,-1,1,-4).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 4 & 3 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 5 & 0
e pede:
a) a inversa de A (se existir),
b) det A,
c) usando A^-1, resolver A,X=b com b^t=(2,-1,1,-4).
Vamos primeiro checar det A para saber se a inversa existe e depois usar eliminação de Gauss-Jordan para obter A^-1. Por fim, calculamos X=A^-1b.

Passo 2

Para calcular det A, usamos expansão pelo elemento não nulo da terceira linha (único não nulo em a3,4=1), lembrando o sinal (-1)^3+4=-1. O menor associado é a matriz formada pelas linhas 1,2, 4 e colunas 1,2, 3:
M = 1 & 2 & 4 0 & 1 & 2 1 & 0 & 5
Calculamos
det M = 1cdotl(1cdot5-2cdot0r) -2cdotl(0cdot5-2cdot1r) +4cdotl(0cdot0-1cdot1r) =5 -2(-2) +4(-1) =5+4-4=5
Logo
det A = -1 times det M = -5
Como det Aneq0, A é invertível.

Passo 3

Construímos [Amid I] e aplicamos Gauss–Jordan. Após pivoteamentos e eliminações (detalhes omitidos), chegamos a [Imid A^-1] com
A^-1 = 1 & -2 & 1 & 0 tfrac25 & tfrac15 & -tfrac85 & -tfrac25 -tfrac15 & tfrac25 & -tfrac15 & tfrac15 0 & 0 & 1 & 0

Passo 4

Para resolver A,X=b, basta calcular X=A^-1b. Escrevendo b=(2,-1,1,-4)^t, cada componente de X é
x1 &= 1cdot2 +(-2)cdot(-1) +1cdot1 +0cdot(-4) =5, x2 &= tfrac25cdot2 +tfrac15cdot(-1) -tfrac85cdot1 -tfrac25cdot(-4) = tfrac4-1-8+85 = tfrac35, x3 &= -tfrac15cdot2 +tfrac25cdot(-1) -tfrac15cdot1 +tfrac15cdot(-4) = -tfrac95, x4 &= 0cdot2 +0cdot(-1) +1cdot1 +0cdot(-4) =1

Resposta

a)
A^-1 = 1 & -2 & 1 & 0 tfrac25 & tfrac15 & -tfrac85 & -tfrac25 -tfrac15 & tfrac25 & -tfrac15 & tfrac15 0 & 0 & 1 & 0
b) det A = -5
c) A solu\c{c}~{a}o `{e}
X = 5[4pt]tfrac35[4pt]-tfrac95[4pt]1 ]

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