Questão 19: Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right]
Encontre os valores de \lambda tais que o sistema linear homogêneo \left(A-\lambda I_{n}\right) X=\overline{0} tem solução não trivial e, para estes valores de \lambda, encontre uma base para o espaço solução.

Passo 1

Resumindo: temos a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -3\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e queremos os valores de \lambda tais que o sistema homogêneo (A-\lambda I)X=0 admita solução não trivial. Isso equivale a exigir
\det(A-\lambda I)=0.
Em seguida, para cada \lambda obtido, encontraremos uma base de \ker(A-\lambda I).

Passo 2

Calculemos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 1 & -\lambda & -3\\\\ 0 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) =(-\lambda)\bigl((- \lambda)(3-\lambda)-(-3)\cdot1\bigr) +1\cdot\bigl(1\cdot1-(-\lambda)\cdot0\bigr).
Dentro do parêntese,
(-\lambda)(3-\lambda)+3 =-3\lambda+\lambda^2+3 =\lambda^2-3\lambda+3,
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\det(A-\lambda I) =-\lambda(\lambda^2-3\lambda+3)+1 =-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1 =-(\lambda-1)^3.

Passo 3

Da condição \det(A-\lambda I)=0 obtemos
-(\lambda-1)^3=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1
(com multiplicidade algébrica 3). Assim, o sistema tem solução não trivial somente para \lambda=1.

Passo 4

Para \lambda=1\), analisamos \(\ker(A-I)\). Escrevemos \[A-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & -3\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
e resolvemos (A-I)X=0, que equivale ao sistema
\begin{cases} -\,x_1 + x_3 = 0,\\\ x_1 - x_2 - 3x_3 = 0,\\\ x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_3=x_1\]. Na segunda: \[x_1 - x_2 -3x_1=0 \;\Rightarrow\; -2x_1 - x_2=0 \;\Rightarrow\; x_2=-2x_1.\] A terceira é redundante (\(-2x_1+2x_1=0). Tomando x_1=t, obtemos
X =\begin{pmatrix}t\\\ -2t\t\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo, uma base de \ker(A-I) é
\{(1,\,-2,\,1)\}.

Resposta

\lambda=1 e uma base do espaço solução é \{(1,-2,1)\}.

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