) Prove que uma reta pode cortar o círculo em no máximo 2 pontos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um círculo de centro
e raio
, qualquer reta
pode cortar este círculo em no máximo dois pontos. Vamos usar geometria analítica: escrever as equações do círculo e da reta, substituir uma na outra e usar o fato de que a intersecção leva a uma equação quadrática em uma variável, que admite no máximo duas soluções reais.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o centro do círculo coincide com a origem. Assim, o círculo tem equação
Uma reta genérica que não seja vertical pode ser escrita como
onde
é o coeficiente angular e
o coeficiente linear.
Passo 3
Substituindo
na equação do círculo, obtemos
Expandindo, fica
ou seja,
Passo 4
A última é uma equação quadrática na incógnita
. Pelas propriedades das equações quadráticas em
, ela admite no máximo duas raízes reais. Cada raiz real de
corresponde a um ponto de intersecção entre a reta e o círculo. Logo, a reta
pode encontrar no máximo dois pontos do círculo.
Resposta
Qualquer reta pode cortar um círculo em no máximo dois pontos.