6^{\text {a }} ) Prove que uma reta pode cortar o círculo em no máximo 2 pontos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um círculo de centro O e raio r, qualquer reta L pode cortar este círculo em no máximo dois pontos. Vamos usar geometria analítica: escrever as equações do círculo e da reta, substituir uma na outra e usar o fato de que a intersecção leva a uma equação quadrática em uma variável, que admite no máximo duas soluções reais.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o centro do círculo coincide com a origem. Assim, o círculo tem equação
x^2 + y^2 = r^2.
Uma reta genérica que não seja vertical pode ser escrita como
y = m x + c,
onde m é o coeficiente angular e c o coeficiente linear.

Passo 3

Substituindo y = m x + c na equação do círculo, obtemos
x^2 + (m x + c)^2 = r^2.
Expandindo, fica
x^2 + m^2 x^2 + 2m c\,x + c^2 - r^2 = 0,
ou seja,
(1 + m^2)\,x^2 + 2m c\,x + (c^2 - r^2) = 0.

Passo 4

A última é uma equação quadrática na incógnita x. Pelas propriedades das equações quadráticas em \mathbb{R}, ela admite no máximo duas raízes reais. Cada raiz real de x corresponde a um ponto de intersecção entre a reta e o círculo. Logo, a reta L pode encontrar no máximo dois pontos do círculo.

Resposta

Qualquer reta pode cortar um círculo em no máximo dois pontos.

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