Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função g, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica f.
Básica f(x)=x^{2}; obtenha o gráfico de g(x)=2(x+4)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função básica f(x)=x^{2} e pede para obter e desenhar o gráfico de g(x)=2(x+4)^{2} explicando como chegar em g por transformações (translação horizontal/vertical e compressão/expansão) a partir do gráfico de f.
Informações fornecidas:
  • Função básica: f(x)=x^{2}.
  • Função a obter: g(x)=2(x+4)^{2}.
  • Pedir: descrever explicitamente as transformações e usar isso para desenhar/esboçar o gráfico de g.

Passo 2

Conceito-prático de transformações (fórmula e o que cada termo faz). Se tivermos uma transformação do tipo
\tilde g(x)=a\,f(x-h)+k,
então:
  • a multiplica as ordenadas (valores de y): se |a|>1 há um estiramento vertical por fator |a| (parábola “mais estreita”); se 0<|a|<1 há uma compressão vertical (parábola “mais larga”); se a<0 além disso ocorre reflexão em relação ao eixo x.
  • h desloca horizontalmente: h>0 desloca para a direita h unidades; h<0 desloca para a esquerda |h| unidades.
  • k desloca verticalmente: k>0 sobe k unidades; k<0 desce |k| unidades.
    Aqui cada variável significa: x é a variável independente (abscissa), y é a ordenada do gráfico, f é o gráfico de referência.

Passo 3

Identificar os parâmetros em g(x). Escrevendo
g(x)=2(x+4)^{2}=2\;f(x+4),
vemos que, em termos de \tilde g(x)=a\,f(x-h)+k:
  • a=2 (estiramento vertical por fator 2),
  • h=-4 (como aparece x+4 = x-(-4), isto é, deslocamento horizontal de |-4|=4 unidades para a esquerda),
  • k=0 (nenhuma translação vertical).

Passo 4

Transformação em duas etapas (sequência prática que facilita o desenho).
  1. Translação horizontal: partir de f(x)=x^{2} e aplicar a translação x\mapsto x+4 para obter
h(x)=(x+4)^{2}.
Isto desloca o gráfico de f quatro unidades para a esquerda: o vértice de f em (0,0) vai para (-4,0). Pontos típicos de f e seus deslocamentos:
  • f(0)=0 \Rightarrow h(-4)=0 (vértice).
  • f(1)=1 \Rightarrow h(-3)=1.
  • f(2)=4 \Rightarrow h(-2)=4.
  • f(-1)=1 \Rightarrow h(-5)=1.
  • f(-2)=4 \Rightarrow h(-6)=4.

Passo 5

Aplicar o estiramento vertical por fator 2: multiplicar as ordenadas de h(x) por 2 para obter g(x)=2h(x)=2(x+4)^{2}. Isso transforma cada ponto (x,y) de h em (x,2y). Usando os pontos do passo anterior:
  • h(-6)=4 \Rightarrow g(-6)=2\cdot4=8, ponto (-6,8).
  • h(-5)=1 \Rightarrow g(-5)=2\cdot1=2, ponto (-5,2).
  • h(-4)=0 \Rightarrow g(-4)=0, ponto (-4,0) (vértice).
  • h(-3)=1 \Rightarrow g(-3)=2\cdot1=2, ponto (-3,2).
  • h(-2)=4 \Rightarrow g(-2)=2\cdot4=8, ponto (-2,8).

Passo 6

Resumo das características importantes de g (úteis para o esboço):
  • Vértice: (-4,0) (pegamos isso da translação do vértice de f).
  • Eixo de simetria: x=-4.
  • Abertura: para cima (porque a=2>0).
  • Estreitamento: a parábola é mais “íngreme” que f porque há estiramento vertical por 2 (para mesma distância horizontal do vértice, a y é o dobro do que seria em f).
  • Intercepto em y: g(0)=2(0+4)^{2}=2\cdot16=32 (pegamos esse valor calculando g(0)).
  • Raiz (x-intercept): resolver 2(x+4)^{2}=0\Rightarrow x=-4 (raiz dupla).

Passo 7

Como esboçar o gráfico na prática (passo a passo para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo vertical e horizontal.
  2. Marque o vértice em (-4,0) e trace a linha do eixo de simetria x=-4.
  3. Marque os pontos calculados (-6,8),(-5,2),(-4,0),(-3,2),(-2,8).
  4. Opcionalmente marque o intercepto em y em (0,32) para ver o crescimento rápido à direita de -2.
  5. Una os pontos com uma curva suave em forma de parábola, abrindo para cima. Lembre-se que a curva é mais “íngreme” que y=x^{2} por causa do fator 2.

Passo 8

Observações finais e motivo geométrico do estreitamento: para f a 1 unidade à direita do vértice temos y=1. Em g, 1 unidade à direita do vértice corresponde a x=-3 e aí g(-3)=2. Ou seja, para mesma distância horizontal do vértice, o valor de y em g é o dobro do de f; por isso a parábola parece mais fechada. Isso é a consequência direta de multiplicar a função por 2.

Resposta

g é obtida a partir de f(x)=x^{2} por: translação horizontal 4 unidades para a esquerda e estiramento vertical por fator 2.
Vértice: (-4,0)
Eixo de simetria: x=-4
Pontos úteis: (-6,8),\;(-5,2),\;(-4,0),\;(-3,2),\;(-2,8)
Intercepto em y: (0,32)
Raiz (x-intercept): x=-4 (raiz dupla)

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