Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função
, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica
.
Básica
; obtenha o gráfico de
.
Básica
Passo 1
O enunciado dá a função básica
e pede para obter e desenhar o gráfico de
explicando como chegar em
por transformações (translação horizontal/vertical e compressão/expansão) a partir do gráfico de
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Função básica:
. - Função a obter:
. - Pedir: descrever explicitamente as transformações e usar isso para desenhar/esboçar o gráfico de
.
Passo 2
Conceito-prático de transformações (fórmula e o que cada termo faz). Se tivermos uma transformação do tipo
então:
-
multiplica as ordenadas (valores de ): se há um estiramento vertical por fator (parábola “mais estreita”); se há uma compressão vertical (parábola “mais larga”); se além disso ocorre reflexão em relação ao eixo . -
desloca horizontalmente: desloca para a direita unidades; desloca para a esquerda unidades. -
desloca verticalmente: sobe unidades; desce unidades.
Aqui cada variável significa:é a variável independente (abscissa), é a ordenada do gráfico, é o gráfico de referência.
Passo 3
Identificar os parâmetros em
. Escrevendo
vemos que, em termos de
:
-
(estiramento vertical por fator ), -
(como aparece , isto é, deslocamento horizontal de unidades para a esquerda), -
(nenhuma translação vertical).
Passo 4
Transformação em duas etapas (sequência prática que facilita o desenho).
- Translação horizontal: partir de
e aplicar a translação para obter
Isto desloca o gráfico de
quatro unidades para a esquerda: o vértice de
em
vai para
. Pontos típicos de
e seus deslocamentos:
-
(vértice). -
. -
. -
. -
.
Passo 5
Aplicar o estiramento vertical por fator
: multiplicar as ordenadas de
por
para obter
. Isso transforma cada ponto
de
em
. Usando os pontos do passo anterior:
-
, ponto . -
, ponto . -
, ponto (vértice). -
, ponto . -
, ponto .
Passo 6
Resumo das características importantes de
(úteis para o esboço):
- Vértice:
(pegamos isso da translação do vértice de ). - Eixo de simetria:
. - Abertura: para cima (porque
). - Estreitamento: a parábola é mais “íngreme” que
porque há estiramento vertical por (para mesma distância horizontal do vértice, a é o dobro do que seria em ). - Intercepto em
: (pegamos esse valor calculando ). - Raiz (x-intercept): resolver
(raiz dupla).
Passo 7
Como esboçar o gráfico na prática (passo a passo para fazer na prova, sem calculadora):
- Desenhe o eixo vertical e horizontal.
- Marque o vértice em
e trace a linha do eixo de simetria . - Marque os pontos calculados
. - Opcionalmente marque o intercepto em
em para ver o crescimento rápido à direita de . - Una os pontos com uma curva suave em forma de parábola, abrindo para cima. Lembre-se que a curva é mais “íngreme” que
por causa do fator .
Passo 8
Observações finais e motivo geométrico do estreitamento: para
a 1 unidade à direita do vértice temos
. Em
, 1 unidade à direita do vértice corresponde a
e aí
. Ou seja, para mesma distância horizontal do vértice, o valor de
em
é o dobro do de
; por isso a parábola parece mais fechada. Isso é a consequência direta de multiplicar a função por
.
Resposta
g é obtida a partir de
por: translação horizontal 4 unidades para a esquerda e estiramento vertical por fator
.
Vértice:
Eixo de simetria:
Pontos úteis:
Intercepto em :
Raiz (x-intercept): (raiz dupla)
Vértice:
Eixo de simetria:
Pontos úteis:
Intercepto em
Raiz (x-intercept):