Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x>1, \\\ x^{2}, \text { se } x \leq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se esboce, com detalhes, o gráfico da função definida por partes
f(x)=\begin{cases}2x+1, & \text{se } x>1,\\[4pt] x^{2}, & \text{se } x\le 1.\end{cases}
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Para x\le 1 a regra é f(x)=x^{2}.
  • Para x>1 a regra é f(x)=2x+1.
  • O ponto de troca entre as regras é x=1 (uma fronteira que precisa ser tratada com cuidado).
    O que se deve produzir no esboço: desenhar cada ramo corretamente (incluindo pontos fechados/abertos onde aplicam), identificar o comportamento próximo a x=1 (continuidade/limites), e indicar características importantes do gráfico (pontos notáveis, monotonia local, domínio e imagem).]

Passo 2

Como vamos proceder (passo a passo didático):
  • Primeiro desenhar o ramo parabólico y=x^{2} restrito a x\le 1: calcular alguns pontos fáceis, marcar o ponto em x=1 (fechado, porque x=1 pertence a essa parte) e entender a forma da curva nessa região.
  • Depois desenhar o ramo linear y=2x+1 para x>1: calcular o valor aproximado próximo a x=1, marcar que em x=1 o ponto correspondente ficará aberto (porque x=1 não pertence a esse ramo), e traçar a reta para x>1.
  • Verificar limites laterais em x=1 para decidir se há continuidade ou descontinuidade e explicar.
    Vou lembrar conceitos úteis enquanto aplico: como decidir se um ponto é fechado (incluso) ou aberto (excluído), como calcular limites laterais simples e como montar uma tabela de pontos para esboçar sem calculadora.

Passo 3

Desenhando o ramo parabólico y=x^{2} para x\le 1.
  1. Pontos fáceis para plotar (calculei estes valores explicitamente):
  • \,x=-2 \Rightarrow f(-2)=(-2)^{2}=4.
  • \,x=-1 \Rightarrow f(-1)=(-1)^{2}=1.
  • \,x=0 \Rightarrow f(0)=0^{2}=0.
  • \,x=1 \Rightarrow f(1)=1^{2}=1. (IMPORTANTE: este é um ponto incluído na função, portanto marca-se com ponto cheio em (1,1).)
  1. Forma e monotonia desse ramo:
  • A função g(x)=x^{2} é suave e tem derivada g'(x)=2x.
  • Para x<0 temos g'(x)=2x<0, ou seja, a parábola está decrescendo ao ir para a esquerda até x=0.
  • Para 0<x\le 1 temos g'(x)=2x>0, ou seja, a parábola cresce entre 0 e 1.
  • O mínimo local para x^{2} ocorre em x=0 com valor 0. Como o ramo é definido para todos x\le 1, quando x\to -\infty temos f(x)=x^{2}\to +\infty.
  1. Traçado prático:
  • No esboço, para x\le 1 desenhe a curvatura típica de x^{2} atravessando os pontos (-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1) e subindo para a esquerda sem limite superior.

Passo 4

Desenhando o ramo linear y=2x+1 para x>1.
  1. Valores e ponto em x=1:
  • Se estendêssemos a reta até x=1 encontraríamos 2\cdot1+1=3. Mas como a regra do ramo linear vale apenas para x>1, o ponto (1,3) NÃO pertence à função: deve ser marcado com um círculo aberto em (1,3).
  • Pontos auxiliares para traçar a reta (todos com x>1):
    • \,x=1{,}5 \Rightarrow f(1{,}5)=2\cdot1{,}5+1=4.
    • \,x=2 \Rightarrow f(2)=2\cdot2+1=5.
  1. Inclinação e comportamento:
  • A reta tem coeficiente angular 2 (declive positivo), portanto é estritamente crescente em todo o seu domínio x>1.
  • Quando x\to +\infty, f(x)=2x+1\to +\infty.
  1. Traçado prático:
  • No esboço, para x>1 desenhe a linha reta que passa, por exemplo, pelos pontos (1{,}5,4) e (2,5), deixando um círculo aberto em (1,3) e desenhando a reta apenas para a direita de x=1.

Passo 5

Verificação de continuidade em x=1 (isso é importante para indicar corretamente o gráfico).
  1. Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} x^{2}=1.
  1. Limite pela direita:
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} (2x+1)=2\cdot1+1=3.
  1. Valor da função em x=1:
f(1)=1^{2}=1.
  1. Conclusão sobre continuidade:
  • Os limites laterais não são iguais ( 1\neq 3), portanto \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
  • A função tem um salto (jump) em x=1. O valor da função em 1 é 1 (ponto fechado), e há um ponto aberto em (1,3) do ramo linear. Logo há descontinuidade de salto em x=1.

Passo 6

Outras propriedades úteis para o esboço e interpretação (domínio, imagem, monotonia global):
  1. Domínio:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R},
pois ambas as expressões x^{2} e 2x+1 estão definidas em todos os reais e a peça x\le 1 cobre a fronteira.
  1. Imagem (contraste dos ramos):
  • Para x\le 1, o ramo x^{2} produz todos os valores [0,+\infty) porque x^{2} assume valor mínimo 0 em x=0 e cresce arbitrariamente para valores grandes quando x\to\pm\infty (no ramo negativo já temos crescimento).
  • Para x>1, a reta produz valores y>3 (porque em x=1 a reta atinge 3 e para x>1 cresce acima de 3). Mas como o ramo parabólico já cobre [0,+\infty), a imagem total da função é
\text{Im}(f)=[0,+\infty).
  1. Monotonicidade (resumo):
  • Em (-\infty,0): f(x)=x^{2} é decrescente.
  • Em (0,1]: f(x)=x^{2} é crescente.
  • Em (1,\infty): f(x)=2x+1 é crescente.
  • Globalmente a função não é monotônica em \mathbb{R} por causa do decrescimento em (-\infty,0) seguido de crescimento e do salto em x=1.

Passo 7

Instruções finais práticas para esboçar à mão (passo a passo curto):
  1. Desenhar eixos x e y.
  2. Marcar e plotar os pontos do ramo parabólico: (-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1) e desenhar a curva y=x^{2} para x\le 1 passando por esses pontos (ponto em (1,1) com marcador cheio).
  3. Marcar ponto aberto em (1,3).
  4. A partir de um x>1 (por exemplo x=1{,}5 e x=2) plotar (1{,}5,4) e (2,5) e traçar a reta que passa por esses pontos somente para x>1.
  5. Indicar com clareza o círculo aberto em (1,3) e o círculo fechado em (1,1); anotar “salto” em x=1.

Resposta

Gráfico: para x\le 1 desenhar a parábola y=x^{2} passando por (-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1) com ponto fechado em (1,1); para x>1 desenhar a reta y=2x+1 passando por (1{,}5,4),(2,5) e com círculo aberto em (1,3). Há uma descontinuidade do tipo salto em x=1 (limite à esquerda =1, limite à direita =3, e f(1)=1). Domínio \mathbb{R}. Imagem [0,+\infty). Monotonia: decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,1] e crescente em (1,\infty).

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