Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
Passo 1
O enunciado pede que se esboce, com detalhes, o gráfico da função definida por partes
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Para
a regra é . - Para
a regra é . - O ponto de troca entre as regras é
(uma fronteira que precisa ser tratada com cuidado).
O que se deve produzir no esboço: desenhar cada ramo corretamente (incluindo pontos fechados/abertos onde aplicam), identificar o comportamento próximo a(continuidade/limites), e indicar características importantes do gráfico (pontos notáveis, monotonia local, domínio e imagem).]
Passo 2
Como vamos proceder (passo a passo didático):
- Primeiro desenhar o ramo parabólico
restrito a : calcular alguns pontos fáceis, marcar o ponto em (fechado, porque pertence a essa parte) e entender a forma da curva nessa região. - Depois desenhar o ramo linear
para : calcular o valor aproximado próximo a , marcar que em o ponto correspondente ficará aberto (porque não pertence a esse ramo), e traçar a reta para . - Verificar limites laterais em
para decidir se há continuidade ou descontinuidade e explicar.
Vou lembrar conceitos úteis enquanto aplico: como decidir se um ponto é fechado (incluso) ou aberto (excluído), como calcular limites laterais simples e como montar uma tabela de pontos para esboçar sem calculadora.
Passo 3
Desenhando o ramo parabólico
para
.
- Pontos fáceis para plotar (calculei estes valores explicitamente):
-
-
-
-
(IMPORTANTE: este é um ponto incluído na função, portanto marca-se com ponto cheio em .)
- Forma e monotonia desse ramo:
- A função
é suave e tem derivada . - Para
temos , ou seja, a parábola está decrescendo ao ir para a esquerda até . - Para
temos , ou seja, a parábola cresce entre e . - O mínimo local para
ocorre em com valor . Como o ramo é definido para todos , quando temos .
- Traçado prático:
- No esboço, para
desenhe a curvatura típica de atravessando os pontos e subindo para a esquerda sem limite superior.
Passo 4
Desenhando o ramo linear
para
.
- Valores e ponto em
:
- Se estendêssemos a reta até
encontraríamos . Mas como a regra do ramo linear vale apenas para , o ponto NÃO pertence à função: deve ser marcado com um círculo aberto em . - Pontos auxiliares para traçar a reta (todos com
): -
- Inclinação e comportamento:
- A reta tem coeficiente angular
(declive positivo), portanto é estritamente crescente em todo o seu domínio . - Quando
, .
- Traçado prático:
- No esboço, para
desenhe a linha reta que passa, por exemplo, pelos pontos e , deixando um círculo aberto em e desenhando a reta apenas para a direita de .
Passo 5
Verificação de continuidade em
(isso é importante para indicar corretamente o gráfico).
- Limite pela esquerda:
- Limite pela direita:
- Valor da função em
:
- Conclusão sobre continuidade:
- Os limites laterais não são iguais (
), portanto não existe. - A função tem um salto (jump) em
. O valor da função em é (ponto fechado), e há um ponto aberto em do ramo linear. Logo há descontinuidade de salto em .
Passo 6
Outras propriedades úteis para o esboço e interpretação (domínio, imagem, monotonia global):
- Domínio:
pois ambas as expressões
e
estão definidas em todos os reais e a peça
cobre a fronteira.
- Imagem (contraste dos ramos):
- Para
, o ramo produz todos os valores porque assume valor mínimo em e cresce arbitrariamente para valores grandes quando (no ramo negativo já temos crescimento). - Para
, a reta produz valores (porque em a reta atinge e para cresce acima de ). Mas como o ramo parabólico já cobre , a imagem total da função é
- Monotonicidade (resumo):
- Em
: é decrescente. - Em
: é crescente. - Em
: é crescente. - Globalmente a função não é monotônica em
por causa do decrescimento em seguido de crescimento e do salto em .
Passo 7
Instruções finais práticas para esboçar à mão (passo a passo curto):
- Desenhar eixos
e . - Marcar e plotar os pontos do ramo parabólico:
e desenhar a curva para passando por esses pontos (ponto em com marcador cheio). - Marcar ponto aberto em
. - A partir de um
(por exemplo e ) plotar e e traçar a reta que passa por esses pontos somente para . - Indicar com clareza o círculo aberto em
e o círculo fechado em ; anotar “salto” em .
Resposta
Gráfico: para
desenhar a parábola
passando por
com ponto fechado em
; para
desenhar a reta
passando por
e com círculo aberto em
. Há uma descontinuidade do tipo salto em
(limite à esquerda
, limite à direita
, e
). Domínio
. Imagem
. Monotonia: decrescente em
, crescente em
e crescente em
.