Questão 14) Suponha que o planeta Terra subitamente perca toda a sua energia cinética translacional e inicie um movimento de queda em direção ao Sol. Quanto tempo duraria este “mergulho mortal”? (Dica.: Considere a trajetória em linha reta como sendo a metade de uma elipse de excentricidade 1 e semi-eixo “a” igual a distância da Terra ao Sol.)

Passo 1

O enunciado pede o tempo que a Terra levaria para, partindo do repouso a uma distância a do Sol, cair diretamente no Sol. O truque é modelar essa queda como metade de uma órbita elíptica degenerate (excentricidade e=1), cuja semieixo maior A deve ser ajustado para que o ponto mais afastado (apoastro) seja ra=a e o ponto mais próximo (periastro) seja rp=0. Vamos usar a 3ª lei de Kepler para relacionar o período dessa elipse à distância a.

Passo 2

Para uma elipse com semieixo maior A e excentricidade e, os raios de periastro e apoastro são
rp = A(1 - e), ra = A(1 + e)
Queremos rp=0 e ra=a. Com e=1 isso impõe
0 = A(1-1), a = A(1+1) = 2A ;;Longrightarrow;; A = a2

Passo 3

A 3ª lei de Kepler diz que o período da elipse é
Telip = 2pi raizA^3GM,
onde G é a constante gravitacional e M a massa do Sol. Substituindo A = a/2
Telip = 2pi raizl(a/2r)^3GM = 2pi raiza^38,GM = 2pi2raiz2,raiza^3GM = piraiz2,raiza^3GM

Passo 4

Como a queda corresponde a metade dessa órbita (do apoastro ao periastro), o tempo de queda tqueda é
tqueda = Telip2 = 12,piraiz2,raiza^3GM = pi2raiz2,raiza^3GM

Passo 5

Mas sabemos que o período orbital da Terra em torno do Sol é
Toplus = 2pi raiza^3GM ;;Longrightarrow;; raiza^3GM = Toplus2pi
Substituindo em tqueda resulta
tqueda = pi2raiz2;Toplus2pi = Toplus4raiz2

Passo 6

Como Toplus=1 ano, tem-se
tqueda = 14raiz2;ano approx 0,1768;ano
Convertendo para dias,
tqueda approx 0,1768 times 365 approx 64,5;dias

Resposta

O “mergulho mortal” duraria aproximadamente 64,5 dias.

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