Questão 14) Suponha que o planeta Terra subitamente perca toda a sua energia cinética translacional e inicie um movimento de queda em direção ao Sol. Quanto tempo duraria este “mergulho mortal”? (Dica.: Considere a trajetória em linha reta como sendo a metade de uma elipse de excentricidade 1 e semi-eixo “a” igual a distância da Terra ao Sol.)
Passo 1
O enunciado pede o tempo que a Terra levaria para, partindo do repouso a uma distância
do Sol, cair diretamente no Sol. O truque é modelar essa queda como metade de uma órbita elíptica degenerate (excentricidade
), cuja semieixo maior
deve ser ajustado para que o ponto mais afastado (apoastro) seja
e o ponto mais próximo (periastro) seja
. Vamos usar a 3ª lei de Kepler para relacionar o período dessa elipse à distância
.
Passo 2
Para uma elipse com semieixo maior
e excentricidade
, os raios de periastro e apoastro são
Queremos
e
. Com
isso impõe
Passo 3
A 3ª lei de Kepler diz que o período da elipse é
onde
é a constante gravitacional e
a massa do Sol. Substituindo
dá
Passo 4
Como a queda corresponde a metade dessa órbita (do apoastro ao periastro), o tempo de queda
é
Passo 5
Mas sabemos que o período orbital da Terra em torno do Sol é
Substituindo em
resulta
Passo 6
Como
ano, tem-se
Convertendo para dias,
Resposta
O “mergulho mortal” duraria aproximadamente
dias.