Questão 19 (PROFMAT-MA12-AV2/2013.2). Quantos são os números de 4 algarismos:
a) em que todos os algarismos são ímpares?
b) em que todos os algarismos são ímpares e, além disso, aparecem em ordem não decrescente? (Por exemplo, 1337 e 1579 são dois destes números, mas 1759 e 1227 não.)

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Precisamos contar números de 4 algarismos (ou seja, números com exatamente 4 dígitos, o primeiro dígito não pode ser zero).
  • O enunciado impõe que todos os algarismos sejam ímpares. Os algarismos ímpares possíveis são \{1,3,5,7,9\}.
  • Há duas perguntas:
    a) Quantos números de 4 algarismos existem em que todos os algarismos são ímpares?
    b) Quantos desses, além de terem todos os algarismos ímpares, têm os algarismos em ordem não decrescente (ou seja, cada dígito é maior ou igual ao anterior; exemplo válido: 1337, 1579; exemplo inválido: 1759, 1227)?

Passo 2

Entendendo e aplicando o princípio fundamental da contagem (a “regra do produto”) — aula rápida:
  • A regra do produto diz: se uma tarefa é composta de etapas independentes em sequência, e a primeira etapa pode ser feita de a maneiras, a segunda de b maneiras, a terceira de c maneiras, etc., então o total de maneiras de realizar todas as etapas é a\cdot b\cdot c\cdots.
  • No nosso contexto, escolher cada um dos 4 dígitos é uma etapa; se para cada posição tivermos m opções possíveis e as escolhas são independentes, o total é m^4.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para a parte (a):
  • Como todos os algarismos devem ser ímpares e o conjunto disponível é \{1,3,5,7,9\}, para cada posição (milhares, centenas, dezenas, unidades) temos \;5\; opções.
  • Pelo princípio da contagem, o número total de números de 4 algarismos com todos os algarismos ímpares é
5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4.
  • Calculando:
5^4 = 625.

Passo 4

Preparação para a parte (b): interpretar “ordem não decrescente” e modelagem combinatória — aula passo a passo.
  • “Ordem não decrescente” significa que, se os dígitos são d_1 d_2 d_3 d_4 (da esquerda para a direita), vale d_1 \le d_2 \le d_3 \le d_4.
  • Como os dígitos só podem ser os cinco valores \{1,3,5,7,9\}, qualquer número com dígitos não decrescentes corresponde exatamente a escolher, entre esses cinco valores, uma multiconjunto (uma seleção com repetições permitidas) de tamanho 4.
  • Uma forma prática de modelar isso: defina variáveis \;x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\; onde \;x_1 é quantas vezes aparece o algarismo 1, \;x_2 é quantas vezes aparece o algarismo 3, e assim por diante até \;x_5 para o algarismo 9. Então cada solução inteira não negativa do sistema abaixo corresponde a um número com dígitos não decrescentes:
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=4,\qquad x_i\ge 0\\ \text{inteiros}.
  • Portanto o problema reduz-se a contar o número de soluções inteiras não negativas desse tipo.

Passo 5

Teorema das “stars and bars” (barras e estrelas) — explicação didática:
  • O teorema diz que o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_1+x_2+\cdots+x_n=k
é igual a
\binom{k+n-1}{n-1}.
  • Intuição rápida: pense em colocar k estrelas em sequência e usar n-1 barras para dividir as estrelas em n caixas; a escolha das posições das barras entre as estrelas determina quantas estrelas (ou seja, quantas repetições) cada caixa tem. O número de maneiras de escolher as posições das barras (ou equivalentemente das estrelas) é o binomial acima.

Passo 6

Aplicando o teorema ao nosso caso e calculando:
  • Aqui n=5 (cinco tipos de dígitos) e k=4 (quatro posições). Pelo teorema:
\text{número de números com dígitos ímpares em ordem não decrescente}=\binom{4+5-1}{5-1}=\binom{8}{4}.úúííã
  • Calculemos \binom{8}{4} passo a passo:
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Simplificando:
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{8}{4}\cdot\frac{6}{3}\cdot\frac{7\cdot5}{2\cdot1} =2\cdot2\cdot\frac{35}{2} =4\cdot17{,}5 =70.
(Mesma conclusão com uma simplificação mais direta: 8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 e 4\cdot3\cdot2\cdot1=24, logo 1680/24=70.)

Passo 7

Comentário final curto e motivador:
  • Então a parte (a) é um caso direto da regra do produto ( 5^4), e a parte (b) foi reduzida a escolher um multiconjunto de tamanho 4 de um conjunto de 5 tipos, contado pelo teorema das estrelas e barras.
  • Boa! Você agora tem dois resultados numéricos simples e sabe as ideias por trás deles. Vai dar certo na prova — respira fundo e treina mais alguns exercícios parecidos.

Resposta

a) 625
b) 70

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