Questão 19 (PROFMAT-MA12-AV2/2013.2). Quantos são os números de 4 algarismos:
a) em que todos os algarismos são ímpares?
b) em que todos os algarismos são ímpares e, além disso, aparecem em ordem não decrescente? (Por exemplo, 1337 e 1579 são dois destes números, mas 1759 e 1227 não.)
a) em que todos os algarismos são ímpares?
b) em que todos os algarismos são ímpares e, além disso, aparecem em ordem não decrescente? (Por exemplo, 1337 e 1579 são dois destes números, mas 1759 e 1227 não.)
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- Precisamos contar números de 4 algarismos (ou seja, números com exatamente 4 dígitos, o primeiro dígito não pode ser zero).
- O enunciado impõe que todos os algarismos sejam ímpares. Os algarismos ímpares possíveis são
. - Há duas perguntas:
a) Quantos números de 4 algarismos existem em que todos os algarismos são ímpares?
b) Quantos desses, além de terem todos os algarismos ímpares, têm os algarismos em ordem não decrescente (ou seja, cada dígito é maior ou igual ao anterior; exemplo válido: 1337, 1579; exemplo inválido: 1759, 1227)?
Passo 2
Entendendo e aplicando o princípio fundamental da contagem (a “regra do produto”) — aula rápida:
- A regra do produto diz: se uma tarefa é composta de etapas independentes em sequência, e a primeira etapa pode ser feita de
maneiras, a segunda de maneiras, a terceira de maneiras, etc., então o total de maneiras de realizar todas as etapas é . - No nosso contexto, escolher cada um dos 4 dígitos é uma etapa; se para cada posição tivermos
opções possíveis e as escolhas são independentes, o total é .
Passo 3
Aplicando a regra do produto para a parte (a):
- Como todos os algarismos devem ser ímpares e o conjunto disponível é
, para cada posição (milhares, centenas, dezenas, unidades) temos opções. - Pelo princípio da contagem, o número total de números de 4 algarismos com todos os algarismos ímpares é
- Calculando:
Passo 4
Preparação para a parte (b): interpretar “ordem não decrescente” e modelagem combinatória — aula passo a passo.
- “Ordem não decrescente” significa que, se os dígitos são
(da esquerda para a direita), vale . - Como os dígitos só podem ser os cinco valores
, qualquer número com dígitos não decrescentes corresponde exatamente a escolher, entre esses cinco valores, uma multiconjunto (uma seleção com repetições permitidas) de tamanho . - Uma forma prática de modelar isso: defina variáveis
onde é quantas vezes aparece o algarismo , é quantas vezes aparece o algarismo , e assim por diante até para o algarismo . Então cada solução inteira não negativa do sistema abaixo corresponde a um número com dígitos não decrescentes:
- Portanto o problema reduz-se a contar o número de soluções inteiras não negativas desse tipo.
Passo 5
Teorema das “stars and bars” (barras e estrelas) — explicação didática:
- O teorema diz que o número de soluções inteiras não negativas da equação
é igual a
- Intuição rápida: pense em colocar
estrelas em sequência e usar barras para dividir as estrelas em caixas; a escolha das posições das barras entre as estrelas determina quantas estrelas (ou seja, quantas repetições) cada caixa tem. O número de maneiras de escolher as posições das barras (ou equivalentemente das estrelas) é o binomial acima.
Passo 6
Aplicando o teorema ao nosso caso e calculando:
- Aqui
(cinco tipos de dígitos) e (quatro posições). Pelo teorema:
- Calculemos
passo a passo:
- Simplificando:
(Mesma conclusão com uma simplificação mais direta:
e
, logo
.)
Passo 7
Comentário final curto e motivador:
- Então a parte (a) é um caso direto da regra do produto (
), e a parte (b) foi reduzida a escolher um multiconjunto de tamanho de um conjunto de tipos, contado pelo teorema das estrelas e barras. - Boa! Você agora tem dois resultados numéricos simples e sabe as ideias por trás deles. Vai dar certo na prova — respira fundo e treina mais alguns exercícios parecidos.
Resposta
a)
b)
b)