Questão 15 (EFOM-2020/21). Um comerciante tem uma papelaria e vai distribuir 10 canetas iguais como brinde entre 4 crianças em sua loja. Considerando que cada criança vai receber pelo menos uma caneta, o número total de possibilidades desse evento é?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 10 canetas idênticas (todas iguais).
  • 4 crianças distintas que vão receber as canetas.
  • Cada criança deve receber pelo menos 1 caneta.
O que a questão pede:
  • O número total de maneiras diferentes de distribuir as 10 canetas entre as 4 crianças, respeitando que cada criança recebe pelo menos 1.

Passo 2

Modelagem por variáveis inteiras (o passo essencial para transformar o problema em conta):
  • Seja x_i o número de canetas recebidas pela criança i, para i=1,2,3,4.
  • As condições do enunciado traduzem-se em
x_1+x_2+x_3+x_4=10
e em
x_i\ge 1\quad\text{para }i=1,2,3,4.
Explicando devagar: cada x_i é um número inteiro positivo que conta quantas canetas aquela criança ganha; a soma tem que dar 10 porque são 10 canetas no total; e cada x_i\ge1 porque a condição é “pelo menos uma” para cada criança.

Passo 3

Transformação para tornar as contas mais simples (ideia clássica “dar 1 para cada um e distribuir o resto”):
  • Como cada criança recebe pelo menos 1, retiremos uma caneta para cada criança de início. Defina
y_i = x_i-1\quad\text{para }i=1,2,3,4.
  • Então cada y_i satisfaz y_i\ge 0 (agora podem ser zero) e a soma fica
y_1+y_2+y_3+y_4 = 10-4 = 6.
Interpretação: agora precisamos contar de quantas maneiras distribuir 6 canetas restantes entre 4 crianças, permitindo que alguma receba 0 dessas 6.

Passo 4

Contagem dos sistemas com variáveis não negativas (a famosa fórmula “stars and bars”):
  • O número de soluções inteiras não-negativas de
y_1+y_2+y_3+y_4=6
é dado por escolher as posições dos separadores entre as canetas: é uma escolha de 3 barras entre 6+3=9 posições, portanto
\binom{6+4-1}{4-1}=\binom{9}{3}.
Explicando a fórmula passo a passo e de forma intuitiva: imagine as 6 canetas restantes como 6 estrelas em linha. Para dividir essas estrelas em 4 grupos (cada grupo corresponde ao número y_i), coloca-se 3 barras separadoras entre as estrelas (podendo haver barras juntas, o que corresponde a algum grupo ter zero). As configurações distintas de posições de barras correspondem exatamente às distribuições distintas, e o número de maneiras de escolher as 3 posições entre as 9 espaços possíveis é \binom{9}{3}.

Passo 5

Cálculo numérico do binomial:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}.
Fazendo conta passo a passo:
9\cdot 8\cdot 7 = 504, \qquad 3\cdot 2\cdot 1 = 6,
\frac{504}{6}=84.
Portanto há 84 maneiras diferentes de distribuir as 10 canetas entre as 4 crianças com cada uma recebendo pelo menos uma.

Passo 6

Pequena verificação/intuuição extra para fixar o conceito (exemplo menor):
  • Se fossem 3 canetas e 2 crianças, cada uma com pelo menos 1, temos soluções de x_1+x_2=3 com x_i\ge1. A fórmula daria \binom{3-1}{2-1}=\binom{2}{1}=2, que corresponde às distribuições (1,2) e (2,1). Isso confirma a lógica usada.

Resposta

\;84\;

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