Questão 15 (EFOM-2020/21). Um comerciante tem uma papelaria e vai distribuir 10 canetas iguais como brinde entre 4 crianças em sua loja. Considerando que cada criança vai receber pelo menos uma caneta, o número total de possibilidades desse evento é?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
canetas idênticas (todas iguais). - Há
crianças distintas que vão receber as canetas. - Cada criança deve receber pelo menos
caneta.
O que a questão pede:
- O número total de maneiras diferentes de distribuir as
canetas entre as crianças, respeitando que cada criança recebe pelo menos .
Passo 2
Modelagem por variáveis inteiras (o passo essencial para transformar o problema em conta):
- Seja
o número de canetas recebidas pela criança , para . - As condições do enunciado traduzem-se em
e em
Explicando devagar: cada
é um número inteiro positivo que conta quantas canetas aquela criança ganha; a soma tem que dar
porque são
canetas no total; e cada
porque a condição é “pelo menos uma” para cada criança.
Passo 3
Transformação para tornar as contas mais simples (ideia clássica “dar 1 para cada um e distribuir o resto”):
- Como cada criança recebe pelo menos
, retiremos uma caneta para cada criança de início. Defina
- Então cada
satisfaz (agora podem ser zero) e a soma fica
Interpretação: agora precisamos contar de quantas maneiras distribuir
canetas restantes entre
crianças, permitindo que alguma receba
dessas
.
Passo 4
Contagem dos sistemas com variáveis não negativas (a famosa fórmula “stars and bars”):
- O número de soluções inteiras não-negativas de
é dado por escolher as posições dos separadores entre as canetas: é uma escolha de
barras entre
posições, portanto
Explicando a fórmula passo a passo e de forma intuitiva: imagine as
canetas restantes como
estrelas em linha. Para dividir essas estrelas em
grupos (cada grupo corresponde ao número
), coloca-se
barras separadoras entre as estrelas (podendo haver barras juntas, o que corresponde a algum grupo ter zero). As configurações distintas de posições de barras correspondem exatamente às distribuições distintas, e o número de maneiras de escolher as
posições entre as
espaços possíveis é
.
Passo 5
Cálculo numérico do binomial:
Fazendo conta passo a passo:
Portanto há
maneiras diferentes de distribuir as
canetas entre as
crianças com cada uma recebendo pelo menos uma.
Passo 6
Pequena verificação/intuuição extra para fixar o conceito (exemplo menor):
- Se fossem
canetas e crianças, cada uma com pelo menos , temos soluções de com . A fórmula daria , que corresponde às distribuições e . Isso confirma a lógica usada.