Questão 16. Nove bolas idênticas foram dispostas no meio de uma sinuca de seis caçapas. De quantos modos o maior jogador de sinuca do Brasil o conhecido Baianinho de Mauá pode ter encaçapado essas bolas, de modo que nenhuma caçapa fique vazia ? (Considere que toda tacada foi dada diretamente em direção a uma caçapa e sem tocar nas tabelas).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • 9 bolas idênticas.
    • 6 caçapas distintas (ou seja, cada caçapa é diferente).
    • Nenhuma caçapa pode ficar vazia (ou seja, cada caçapa deve receber pelo menos uma bola).
  • O que o enunciado pergunta:
    • De quantos modos as 9 bolas podem ter sido encaçapadas, respeitando que as bolas são idênticas, as caçapas são distintas e nenhuma caçapa fica vazia.

Passo 2

Modelar o problema com uma equação: como as bolas são idênticas e só importa quantas vão para cada caçapa, represento por variáveis o número de bolas em cada caçapa.
  • Seja x_1,x_2,\dots,x_6 os números de bolas nas caçapas 1 a 6. Cada x_i é um inteiro positivo (porque nenhuma caçapa pode ficar vazia).
  • A soma de todas as bolas é 9. Logo a condição é
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=9,
com cada x_i\ge 1.
O problema agora é contar o número de soluções inteiras positivas dessa equação.

Passo 3

Transformação padrão para eliminar a condição “positiva” e trabalhar com não-negativos (isso facilita a contagem).
  • Para cada i defino \,y_i = x_i - 1\,. Como x_i\ge 1, temos y_i\ge 0 (ou seja, y_i é inteiro não-negativo).
  • Substituindo na soma:
(x_1+x_2+\dots+x_6)=9 \quad\Longrightarrow\quad (y_1+1)+(y_2+1)+\dots+(y_6+1)=9.
  • Simplificando:
y_1+y_2+\dots+y_6 = 9-6 = 3,
com cada y_i\ge 0.
Portanto contar soluções positivas da equação original é equivalente a contar soluções não-negativas de
y_1+y_2+\dots+y_6=3.

Passo 4

Explicação didática do método de contagem (o chamado argumento “estrelas e barras”) — aqui explico a ideia passo a passo como se fosse na prova.
  • Interpretação visual: distribuo 3 unidades indistinguíveis (pense em 3 estrelas \ast) em 6 caixas ordenadas (os 6 y_i). Para separar as 6 caixas precisamos de 5 separadores (barras).
  • Colocando todas as 3 estrelas e as 5 barras numa fila, qualquer arranjo dessa fila determina uma distribuição: as estrelas antes da primeira barra são y_1, entre a primeira e a segunda barra são y_2, etc.
  • O total de símbolos na fila é 3 estrelas + 5 barras =8 posições. Para definir um arranjo basta escolher quais 5 dessas 8 posições serão barras (ou equivalentemente quais 3 serão estrelas).
  • Portanto o número de distribuições é o número de maneiras de escolher 5 posições entre 8, isto é o coeficiente binomial
\binom{8}{5}.
Essa é a fórmula geral: o número de soluções não-negativas da equação
y_1+\dots+y_k=n
é \displaystyle\binom{n+k-1}{k-1}. No nosso caso n=3 e k=6, daí \binom{3+6-1}{6-1}=\binom{8}{5}.

Passo 5

Aplicar e calcular o binomial explicitamente, mostrando as contas de forma que dê para fazer sem calculadora.
  • Usando a simetria do binomial, \displaystyle\binom{8}{5}=\binom{8}{3} (porque \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}).
  • Calculo de \displaystyle\binom{8}{3}:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}.
  • Efetuando as simplificações:
    • 8\cdot 7\cdot 6 = 336.
    • 3\cdot 2\cdot 1 = 6.
    • 336\div 6 = 56.
  • Logo
\binom{8}{5}=56.

Passo 6

Verificação rápida por exemplo menor (para fixar a ideia): distribuir 4 bolas em 2 caçapas, nenhuma vazia.
  • Equação x_1+x_2=4 com x_i\ge 1.
  • Transformo y_i=x_i-1, então y_1+y_2=2 com y_i\ge 0.
  • Número de soluções é \binom{2+2-1}{2-1}=\binom{3}{1}=3.
  • As distribuições possíveis são (1,3),(2,2),(3,1), batendo com o cálculo — isso serve como checagem mental da técnica.

Passo 7

Conclusão final comentada e incentivo: portanto, seguindo a modelagem e o argumento das estrelas e barras, encontramos que o número de modos possíveis é \,56. Boa! Mesmo com pouco tempo, esse tipo de problema resolve-se sempre com a mesma ideia: transformar para não-negativos e aplicar o binomial. Confia que você já domina a técnica agora — vai dar certo na prova!

Resposta

56

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