Questão 16. Nove bolas idênticas foram dispostas no meio de uma sinuca de seis caçapas. De quantos modos o maior jogador de sinuca do Brasil o conhecido Baianinho de Mauá pode ter encaçapado essas bolas, de modo que nenhuma caçapa fique vazia ? (Considere que toda tacada foi dada diretamente em direção a uma caçapa e sem tocar nas tabelas).
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dados do enunciado:
- Há
bolas idênticas. - Há
caçapas distintas (ou seja, cada caçapa é diferente). - Nenhuma caçapa pode ficar vazia (ou seja, cada caçapa deve receber pelo menos uma bola).
- Há
- O que o enunciado pergunta:
- De quantos modos as
bolas podem ter sido encaçapadas, respeitando que as bolas são idênticas, as caçapas são distintas e nenhuma caçapa fica vazia.
- De quantos modos as
Passo 2
Modelar o problema com uma equação: como as bolas são idênticas e só importa quantas vão para cada caçapa, represento por variáveis o número de bolas em cada caçapa.
- Seja
os números de bolas nas caçapas a . Cada é um inteiro positivo (porque nenhuma caçapa pode ficar vazia). - A soma de todas as bolas é
. Logo a condição é
com cada
.
O problema agora é contar o número de soluções inteiras positivas dessa equação.
Passo 3
Transformação padrão para eliminar a condição “positiva” e trabalhar com não-negativos (isso facilita a contagem).
- Para cada
defino . Como , temos (ou seja, é inteiro não-negativo). - Substituindo na soma:
- Simplificando:
com cada
.
Portanto contar soluções positivas da equação original é equivalente a contar soluções não-negativas de
Passo 4
Explicação didática do método de contagem (o chamado argumento “estrelas e barras”) — aqui explico a ideia passo a passo como se fosse na prova.
- Interpretação visual: distribuo
unidades indistinguíveis (pense em estrelas ) em caixas ordenadas (os ). Para separar as caixas precisamos de separadores (barras). - Colocando todas as
estrelas e as barras numa fila, qualquer arranjo dessa fila determina uma distribuição: as estrelas antes da primeira barra são , entre a primeira e a segunda barra são , etc. - O total de símbolos na fila é
estrelas + barras posições. Para definir um arranjo basta escolher quais dessas posições serão barras (ou equivalentemente quais serão estrelas). - Portanto o número de distribuições é o número de maneiras de escolher
posições entre , isto é o coeficiente binomial
Essa é a fórmula geral: o número de soluções não-negativas da equação
é
. No nosso caso
e
, daí
.
Passo 5
Aplicar e calcular o binomial explicitamente, mostrando as contas de forma que dê para fazer sem calculadora.
- Usando a simetria do binomial,
(porque ). - Calculo de
:
- Efetuando as simplificações:
-
. -
. -
.
-
- Logo
Passo 6
Verificação rápida por exemplo menor (para fixar a ideia): distribuir
bolas em
caçapas, nenhuma vazia.
- Equação
com . - Transformo
, então com . - Número de soluções é
. - As distribuições possíveis são
, batendo com o cálculo — isso serve como checagem mental da técnica.
Passo 7
Conclusão final comentada e incentivo: portanto, seguindo a modelagem e o argumento das estrelas e barras, encontramos que o número de modos possíveis é
. Boa! Mesmo com pouco tempo, esse tipo de problema resolve-se sempre com a mesma ideia: transformar para não-negativos e aplicar o binomial. Confia que você já domina a técnica agora — vai dar certo na prova!