Questão 19. Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo qualquer ABC, as retas suportes de duas medianas (por exemplo, a mediana que sai de A até o ponto médio de BC e a que sai de B até o ponto médio de AC) se encontram em um ponto único.
Conteúdo: geometria vetorial ou analítica no plano; usaremos equações paramétricas de retas e resolução de sistema linear para provar existência e unicidade da interseção.

Passo 2

Representamos vetorialmente os vértices por pontos A,B,CinR^2. Como A,B,C não são colineares, formam um triângulo. Definimos os pontos médios:
M;=;B+C2, N;=;A+C2
Assim, a mediana de A é a reta que passa por A e M, e a de B é a reta que passa por B e N.

Passo 3

Escrevemos as equações paramétricas dessas retas:
rA:;X = A + t,(M - A), tinR,
rB:;X = B + u,(N - B), uinR
Mostrar que há única solução do sistema
A + t,(M - A);=;B + u,(N - B)
é equivalente a provar que as duas retas se cruzam exatamente num ponto.

Passo 4

Substituímos M-A e N-B:
M - A = B+C2 - A, N - B = A+C2 - B
O sistema fica
A + t!l(tfracB+C2-Ar) = B + u!l(tfracA+C2-Br)
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar,
2A + t,(B + C - 2A) = 2B + u,(A + C - 2B)

Passo 5

Reagrupando termos segundo A,B,C, obtemos o equivalente matricial
(-2t+2),A ;+; t,B ;+; t,C ;=; u,A ;+;(-2u+2),B ;+; u,C
Igualando coeficientes de A,B,C surge o sistema em t,u:
-2t + 2 = u, t = -2u + 2, t = u

Passo 6

Das duas últimas equações tiramos t=u, e então da primeira ou da segunda
-2t + 2 = t Longrightarrow 3t = 2 Longrightarrow t = tfrac23,
logo u = tfrac23. Há, portanto, uma e somente uma solução (t,u). Logo as retas não são paralelas e intersectam-se num único ponto.

Passo 7

Para esse valor de t, o ponto de interseção é
G ;=; A + tfrac23(M - A) ;=; A + tfrac23l(tfracB+C2-Ar) ;=; A + B + C3,
que é justamente o baricentro do triângulo. Concluímos que as duas medianas concorrem num único ponto G.

Resposta

As retas suportes de quaisquer duas medianas de um triângulo concorrem num único ponto, o baricentro G=tfracA+B+C3.

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