Questão 19. Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo qualquer , as retas suportes de duas medianas (por exemplo, a mediana que sai de até o ponto médio de e a que sai de até o ponto médio de ) se encontram em um ponto único.
Conteúdo: geometria vetorial ou analítica no plano; usaremos equações paramétricas de retas e resolução de sistema linear para provar existência e unicidade da interseção.
Passo 2
Representamos vetorialmente os vértices por pontos . Como não são colineares, formam um triângulo. Definimos os pontos médios:
Assim, a mediana de é a reta que passa por e , e a de é a reta que passa por e .
Passo 3
Escrevemos as equações paramétricas dessas retas:
Mostrar que há única solução do sistema
é equivalente a provar que as duas retas se cruzam exatamente num ponto.
Passo 4
Substituímos e :
O sistema fica
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar,
Passo 5
Reagrupando termos segundo , obtemos o equivalente matricial
Igualando coeficientes de surge o sistema em :
Passo 6
Das duas últimas equações tiramos t=u, e então da primeira ou da segunda
-2t + 2 = t Longrightarrow 3t = 2 Longrightarrow t = tfrac23,
logo u = tfrac23. Há, portanto, uma e somente uma solução (t,u). Logo as retas não são paralelas e intersectam-se num único ponto.
Passo 7
Para esse valor de t, o ponto de interseção é
G ;=; A + tfrac23(M - A) ;=; A + tfrac23l(tfracB+C2-Ar) ;=; A + B + C3,
que é justamente o baricentro do triângulo. Concluímos que as duas medianas concorrem num único ponto G.
Resposta
As retas suportes de quaisquer duas medianas de um triângulo concorrem num único ponto, o baricentro G=tfracA+B+C3.