Questão 12. Sendo a altura do triângulo A B C relativa ao vértice C, exprima X em função de A, C A e C B.
Passo 1
O enunciado pede o pé da altura trazada de C sobre a reta AB. Chamamos esse pé de X. O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta. Vamos usar vetores CA e CB e o ponto A para obter a expressão de X.
Passo 2
Parametrizamos a reta AB por
r(t) ;=; A + t,(B-A)
Como CA=A-C e CB=B-C, note que
B - A ;=; (C + CB) - (C + CA) ;=;CB - CA
Passo 3
O ponto X está em AB, logo X=r(t) para algum t. Além disso, CXperp AB significa
l(C - r(t)r)cdot (B - A) ;=; 0
Passo 4
Substituindo r(t)=A+t(B-A) e C-A=-(CA), obtemos
(C - A - t(B-A))cdot(B-A)=0 ;Longrightarrow; l(-( CA) - t(CB-CA)r)cdot(CB-CA)=0
Resolvendo para t,
-,CAcdot(CB-CA) ;-;t,|CB-CA|^2 ;=;0 Longrightarrow t =;-,CAcdot(CB-CA) |CB-CA|^2
Passo 5
Finalmente, substituímos t em X=r(t)=A+t(B-A). Como B-A=CB-CA, temos