Questão 3:

(a) Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A=(3,5,3) e B=(1,1,1).
(b) Considere s a reta (x, y, z)=(1,2,3)+t(1,2,1). Verifique se as retas r e s são paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Ache, se possível, uma equação geral do plano que contém as retas r e s.
(d) Calcule a distância entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado pede quatro itens:
(a) equação da reta r que passa por A e B;
(b) verificar se r e s são paralelas, reversas (skew) ou concorrentes;
(c) encontrar uma equação geral de um plano que contém r e s, se possível;
(d) calcular a distância entre r e s.
O conteúdo usado será geometria analítica no espaço: vetores diretores, equações paramétricas, teste de paralelismo/interseção, produto vetorial para normais de planos e fórmula de distância entre retas paralelas.

Passo 2

A reta r passa por A=(3,5,3) e B=(1,1,1). O vetor diretor é
vec vr = B - A = (-2,-4,-2),
que podemos simplificar para
vec vr = (1,2,1)
(multiplicando por -tfrac12).
Logo uma forma vetorial de r é
(x,y,z) = (3,5,3) + t,(1,2,1)

Passo 3

A reta s tem vetor diretor vec vs=(1,2,1). Como vec vr é paralelo a vec vs, as retas são paralelas ou coincidentes. Para ver se coincidem, testamos se um ponto de s, por exemplo C=(1,2,3) (em t=0), satisfaz r:
(1,2,3) = (3,5,3) + t,(1,2,1)
O sistema resultante não tem solução comum, logo r e s são paralelas distintas.

Passo 4

Duas retas paralelas e distintas determinam infinitos planos. Para obter um deles, escolhemos o plano que passa por A e contém s. Tomamos o vetor de conexão
AC = C - A = (-2,-3,0),
e usamos vec vr=(1,2,1). O produto vetorial
vec n = vec vr times AC
é normal ao plano. Calculando,
vec n = i & j & k 1 & 2 & 1 -2 & -3 & 0 = 3, i - 2, j + 1, k
logo vec n=(3,-2,1). A equação geral do plano é
3(x-3)-2(y-5)+(z-3)=0
ou
3x-2y+z-2=0

Passo 5

A distância entre retas paralelas é
d = |ACtimesvec vs||vec vs|
Como AC=(-2,-3,0) e vec vs=(1,2,1), temos
ACtimesvec vs = (3,-2,1), |ACtimesvec vs| = raiz14, |vec vs| = raiz6
Portanto
d = raiz14raiz6 = raiz146 = raiz73 = raiz213

Resposta

(a) (x,y,z)=(3,5,3)+t(1,2,1)
(b) r e s são paralelas distintas
(c) 3x-2y+z-2=0
(d) d=tfracraiz213

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