Questão 20. Placas de metal são inspecionadas regularmente quanto ao número de fendas encontrando-se em média 2,2 fendas por
. Supondo que o número de fendas se distribuem segundo uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de se obter:
a) nenhuma fenda em
do material.
b) No mínimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por
.
a) nenhuma fenda em
b) No mínimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: a média de fendas é
fendas para cada . - Informação: o número de fendas segue uma distribuição de Poisson.
- Pergunta (a): calcular a probabilidade de obter nenhuma fenda em
. - Pergunta (b): em um lote de
placas (cada placa tendo área ), calcular a probabilidade de existir no mínimo uma placa sem fenda (ou seja, pelo menos uma placa com zero fendas).
Passo 2
Relembrando a fórmula da distribuição de Poisson (explicando com calma): se
é o número de ocorrências em uma região onde a média é
, então a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é dada por
Aqui:
-
é a média esperada de eventos na região considerada (aqui fendas por ); -
é o número de eventos que queremos a probabilidade (um número inteiro não negativo); -
é o fatorial de (por exemplo , , , etc.); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Passo 3
Resolver a parte (a). Queremos a probabilidade de nenhuma fenda em
, ou seja
e
. Aplicando a fórmula:
Substituindo
:
Para uma aproximação numérica podemos usar
. Sabendo
e
, temos
Arredondando de forma prática (e legível na prova), podemos escrever
Passo 4
Resolver a parte (b). Interpretar o que se pede: temos um lote de
placas, cada placa com área
. Assumimos que as placas são independentes entre si (condição usual neste tipo de problema). Para cada placa, a probabilidade de não ter fendas é a do item (a), ou seja
Queremos a probabilidade de “no mínimo uma placa sem fenda” entre as
. É mais simples usar o complemento: “nenhuma placa sem fenda” significa que todas as
placas têm pelo menos uma fenda; a probabilidade de uma placa ter pelo menos uma fenda é
. Como são independentes, a probabilidade de todas as
terem pelo menos uma fenda é
. Portanto a probabilidade pedida é
Substituindo o valor numérico de
:
Calculando (usando potências ou logaritmos; mostro o resultado numérico arredondado):
Portanto, em forma prática,
Resposta
a)
b)
b)