Questão 20. Placas de metal são inspecionadas regularmente quanto ao número de fendas encontrando-se em média 2,2 fendas por 2 m^{2}. Supondo que o número de fendas se distribuem segundo uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de se obter:
a) nenhuma fenda em 2 m^{2} do material.
b) No mínimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por 2 m^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: a média de fendas é \lambda=2,2 fendas para cada 2\\ \mathrm{m}^2.
  • Informação: o número de fendas segue uma distribuição de Poisson.
  • Pergunta (a): calcular a probabilidade de obter nenhuma fenda em 2\\ \mathrm{m}^2.
  • Pergunta (b): em um lote de 5 placas (cada placa tendo área 2\\ \mathrm{m}^2), calcular a probabilidade de existir no mínimo uma placa sem fenda (ou seja, pelo menos uma placa com zero fendas).

Passo 2

Relembrando a fórmula da distribuição de Poisson (explicando com calma): se X é o número de ocorrências em uma região onde a média é \lambda, então a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é dada por
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!}.
Aqui:
  • \lambda é a média esperada de eventos na região considerada (aqui \lambda=2,2 fendas por 2\\ \mathrm{m}^2);
  • k é o número de eventos que queremos a probabilidade (um número inteiro não negativo);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 0!=1, 1!=1, 2!=2, etc.);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).

Passo 3

Resolver a parte (a). Queremos a probabilidade de nenhuma fenda em 2\\ \mathrm{m}^2, ou seja k=0 e \lambda=2,2. Aplicando a fórmula:
P(X=0)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}.
Substituindo \lambda=2,2:
P(X=0)=e^{-2,2}.
Para uma aproximação numérica podemos usar e^{-2,2}=e^{-2}\cdot e^{-0,2}. Sabendo e^{-2}\approx0,135335283 e e^{-0,2}\approx0,818730753, temos
e^{-2,2}\approx 0,135335283\times 0,818730753 \approx 0,110803158.
Arredondando de forma prática (e legível na prova), podemos escrever
P(\text{nenhuma fenda em }2\\ \mathrm{m}^2)\approx 0,1108.

Passo 4

Resolver a parte (b). Interpretar o que se pede: temos um lote de 5 placas, cada placa com área 2\\ \mathrm{m}^2. Assumimos que as placas são independentes entre si (condição usual neste tipo de problema). Para cada placa, a probabilidade de não ter fendas é a do item (a), ou seja
p = P(X=0)=e^{-2,2}\approx 0,110803158.
Queremos a probabilidade de “no mínimo uma placa sem fenda” entre as 5. É mais simples usar o complemento: “nenhuma placa sem fenda” significa que todas as 5 placas têm pelo menos uma fenda; a probabilidade de uma placa ter pelo menos uma fenda é 1-p. Como são independentes, a probabilidade de todas as 5 terem pelo menos uma fenda é (1-p)^5. Portanto a probabilidade pedida é
1-(1-p)^5 = 1-(1-e^{-2,2})^5.
Substituindo o valor numérico de p:
1-(1-0,110803158)^5 = 1-(0,889196842)^5.
Calculando (usando potências ou logaritmos; mostro o resultado numérico arredondado):
(0,889196842)^5 \approx 0,5565\quad\Rightarrow\quad 1-(0,889196842)^5 \approx 0,4435.
Portanto, em forma prática,
P(\text{pelo menos uma placa sem fenda em 5}) \approx 0,4435.

Resposta

a) e^{-2,2}\approx 0,1108
b) 1-(1-e^{-2,2})^{5}\approx 0,4435

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