Questão 24. Em cada dois dias, em média, chegam um navio em um determinado porto.
a) Qual a probabilidade de dois ou mais navios chegarem em um dia qualquer?
b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias.

Passo 1

O enunciado diz: “Em cada dois dias, em média, chegam um navio em um determinado porto.”\n
Perguntas:
  • (a) Qual a probabilidade de dois ou mais navios chegarem em um dia qualquer?
  • (b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias? \n
    Informações relevantes dadas:
  • A média é de \,1\, navio em \,2\, dias.
  • Precisamos calcular probabilidades de contagens de chegadas em intervalos de tempo (um dia e dois dias).

Passo 2

Escolhendo o modelo e explicando por que: vou modelar as chegadas por um processo de Poisson, porque o enunciado fala em “média de chegadas por intervalo de tempo” e normalmente, para chegadas aleatórias e independentes em intervalos de tempo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson dá a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo quando a média (esperança) de eventos no intervalo é \lambda. A fórmula da Poisson é:
P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • N é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo;
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • \lambda é o valor esperado (média) de eventos no intervalo considerado;
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx 2,71828).\n
    Importante: se a média é \lambda em um certo intervalo, para um subintervalo proporcional a esse intervalo a média escala na mesma proporção (aditividade do parâmetro de Poisson). Aqui: média de \,1\, navio em \,2\, dias implica que a média por dia é
\lambda_{\text{dia}}=\frac{1}{2}=0,5.
Para dois dias a média é \lambda_{2\text{ dias}}=1 (isso já está dado).

Passo 3

Resolver a parte (a) passo a passo: queremos a probabilidade de “dois ou mais navios” em um dia. Em termos de N com parâmetro \lambda_{\text{dia}}=0,5, desejamos
P(N\ge2)=1-P(N=0)-P(N=1).
Agora calculamos P(N=0) e P(N=1) usando a fórmula da Poisson com \lambda=0,5.
Calcule P(N=0):
P(N=0)=\frac{0,5^{0}e^{-0,5}}{0!}=e^{-0,5}.
Aqui usamos 0!=1 e 0,5^{0}=1.
Calcule P(N=1):
P(N=1)=\frac{0,5^{1}e^{-0,5}}{1!}=0,5\,e^{-0,5}.
Somando:
P(N=0)+P(N=1)=e^{-0,5}+0,5\,e^{-0,5}=1{,}5\,e^{-0,5}.
Portanto
P(N\ge2)=1-1{,}5\,e^{-0,5}.
Agora uma aproximação numérica (para você poder comparar na prova se pedirem aproximação):
e^{-0,5}\approx 0{,}60653066,
então
1{,}5\,e^{-0,5}\approx 1{,}5\cdot0{,}60653066\approx0{,}90979599,
e finalmente
P(N\ge2)\approx 1-0{,}90979599=0{,}09020401\approx0{,}0902.

Passo 4

Resolver a parte (b) passo a passo: agora consideramos o intervalo de dois dias. Já sabemos que a média em dois dias é \lambda_{2\text{ dias}}=1. Queremos a probabilidade de “pelo menos três” navios em dois dias:
P(N\ge3)=1-\big(P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)\big),
com \lambda=1.
Calcule P(N=0):
P(N=0)=\frac{1^{0}e^{-1}}{0!}=e^{-1}.
Calcule P(N=1):
P(N=1)=\frac{1^{1}e^{-1}}{1!}=e^{-1}.
Calcule P(N=2):
P(N=2)=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{1}{2}\,e^{-1}=0{,}5\,e^{-1}.
(aqui usamos 2!=2.)
Somando:
P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)=e^{-1}+e^{-1}+0{,}5\,e^{-1}=2{,}5\,e^{-1}.
Portanto
P(N\ge3)=1-2{,}5\,e^{-1}.
Aproximando numericamente:
e^{-1}\approx0{,}36787944,
então
2{,}5\,e^{-1}\approx2{,}5\cdot0{,}36787944\approx0{,}9196986,
e
P(N\ge3)\approx1-0{,}9196986=0{,}0803014\approx0{,}0803.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (curtas e úteis):
  • Identifique a média no intervalo pedido e use Poisson com esse \lambda.
  • Para "pelo menos k" sempre é mais fácil calcular o complementar somando probabilidades de contagens menores que k.
  • Memorize a fórmula da Poisson e que \lambda escala com o tempo (média por dia × número de dias).
  • Se precisar de aproximações, lembre que e^{-1}\approx0{,}3679 e e^{-0,5}\approx0{,}6065 ajudam a checar respostas rapidamente — e responda com 3–4 casas decimais se pedirem.

Resposta

(a) \;1-1{,}5\,e^{-0,5}\approx0{,}0902\n
(b) \;1-2{,}5\,e^{-1}\approx0{,}0803

Exercícios relacionados