Questão 24. Em cada dois dias, em média, chegam um navio em um determinado porto.
a) Qual a probabilidade de dois ou mais navios chegarem em um dia qualquer?
b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias.
a) Qual a probabilidade de dois ou mais navios chegarem em um dia qualquer?
b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias.
Passo 1
O enunciado diz: “Em cada dois dias, em média, chegam um navio em um determinado porto.”\n
Perguntas:
Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de dois ou mais navios chegarem em um dia qualquer?
- (b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias? \n
Informações relevantes dadas: - A média é de
navio em dias. - Precisamos calcular probabilidades de contagens de chegadas em intervalos de tempo (um dia e dois dias).
Passo 2
Escolhendo o modelo e explicando por que: vou modelar as chegadas por um processo de Poisson, porque o enunciado fala em “média de chegadas por intervalo de tempo” e normalmente, para chegadas aleatórias e independentes em intervalos de tempo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson dá a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos em um intervalo quando a média (esperança) de eventos no intervalo é
. A fórmula da Poisson é:
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo; -
é um número inteiro não negativo ( ); -
é o valor esperado (média) de eventos no intervalo considerado; -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).\n
Importante: se a média éem um certo intervalo, para um subintervalo proporcional a esse intervalo a média escala na mesma proporção (aditividade do parâmetro de Poisson). Aqui: média de navio em dias implica que a média por dia é
Para dois dias a média é
(isso já está dado).
Passo 3
Resolver a parte (a) passo a passo: queremos a probabilidade de “dois ou mais navios” em um dia. Em termos de
com parâmetro
, desejamos
Agora calculamos
e
usando a fórmula da Poisson com
.
Calcule
:
Aqui usamos
e
.
Calcule
:
Somando:
Portanto
Agora uma aproximação numérica (para você poder comparar na prova se pedirem aproximação):
então
e finalmente
Passo 4
Resolver a parte (b) passo a passo: agora consideramos o intervalo de dois dias. Já sabemos que a média em dois dias é
. Queremos a probabilidade de “pelo menos três” navios em dois dias:
com
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
(aqui usamos
.)
Somando:
Portanto
Aproximando numericamente:
então
e
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (curtas e úteis):
- Identifique a média no intervalo pedido e use Poisson com esse
. - Para "pelo menos
" sempre é mais fácil calcular o complementar somando probabilidades de contagens menores que . - Memorize a fórmula da Poisson e que
escala com o tempo (média por dia × número de dias). - Se precisar de aproximações, lembre que
e ajudam a checar respostas rapidamente — e responda com 3–4 casas decimais se pedirem.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)