Questão 19.

O vetor \overrightarrow{\mathbf{A}} tem uma magnitude de 63 unidades e aponta para oeste, enquanto \overrightarrow{\mathbf{B}} o vetor B tem a mesma magnitude e aponta para o sul. Encontre a magnitude e direção de
a) \overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}
b) \overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}
Especifique as direções em relação ao oeste.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano: \overrightarrow A com \|\overrightarrow A\|=63 unidades apontando para oeste, e \overrightarrow B com \|\overrightarrow B\|=63 unidades apontando para sul. Pede-se a magnitude e a direção de \overrightarrow A+\overrightarrow B e de \overrightarrow A-\overrightarrow B, especificando as direções em relação ao oeste. O conteúdo envolvido é representação de vetores em coordenadas cartesianas, soma e diferença de vetores, cálculo de magnitude e ângulo de direção.

Passo 2

Escolhemos eixos cartesianas com sentido positivo para leste ( +x) e norte ( +y). Assim,
\overrightarrow A = (-63,\,0), \quad \overrightarrow B = (0,\,-63).
Se \vec v=(v_x,v_y), sua magnitude é
\|\vec v\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
e o ângulo que \vec v faz com o eixo negativo x (oeste) é
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{|v_y|}{|v_x|}\Bigr),
com o sentido do desvio (para cima = norte, para baixo = sul) determinado pelo sinal de v_y.

Passo 3

Para \overrightarrow A+\overrightarrow B:
\overrightarrow A + \overrightarrow B = (-63,\,-63).
1. Magnitude:
\|\overrightarrow A+\overrightarrow B\| = \sqrt{(-63)^2 + (-63)^2} = 63\sqrt{2}.
2. Direção:
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{|-63|}{|-63|}\Bigr) = \arctan(1) = 45^\circ.
Como v_x<0 e v_y<0, o vetor aponta para sudoeste, ou seja, 45^\circ ao sul do oeste.

Passo 4

Para \overrightarrow A-\overrightarrow B:
\overrightarrow A - \overrightarrow B = (-63,\,+63).
1. Magnitude:
\|\overrightarrow A-\overrightarrow B\| = \sqrt{(-63)^2 + 63^2} = 63\sqrt{2}.
2. Direção:
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{|63|}{|-63|}\Bigr) = \arctan(1) = 45^\circ.
Como v_x<0 e v_y>0, o vetor aponta para noroeste, ou seja, 45^\circ ao norte do oeste.

Resposta

a) \|\overrightarrow A+\overrightarrow B\| = 63\sqrt{2} unidades, direção 45^\circ ao sul do oeste.
b) \|\overrightarrow A-\overrightarrow B\| = 63\sqrt{2} unidades, direção 45^\circ ao norte do oeste.

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