Questão 4.Dada a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(4 y, x)
(a)(Vale 2.0 pontos).Mostre que essa aplicação é linear.Sua solução deve ser feita detalhadamente!
(b)(Vale 2.0 pontos).Essa aplicação é injetiva?Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(4y,\,x).
O conteúdo da matéria é transformação linear e injetividade. Para mostrar que T é linear, vamos usar a definição: T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c\,u)=c\,T(u). Para decidir se T é injetiva, vamos analisar seu núcleo ou mostrar que T(u)=T(v) implica u=v.

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) vetores em \mathbb{R}^2. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2),
portanto
T(u+v) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(4(y_1+y_2),\;x_1+x_2\bigr).
Por outro lado,
T(u)+T(v) = (4y_1,x_1) + (4y_2,x_2) = (4y_1+4y_2,\;x_1+x_2).
Logo
T(u+v) = (4(y_1+y_2),\,x_1+x_2) = (4y_1+4y_2,\,x_1+x_2) = T(u)+T(v).

Passo 3

Seja c\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1). Então
c\,u = (c\,x_1,\;c\,y_1),
portanto
T(c\,u) = T(c\,x_1,\;c\,y_1) = \bigl(4(c\,y_1),\;c\,x_1\bigr) = \bigl(c\,(4y_1),\;c\,x_1\bigr) = c\,(4y_1,x_1) = c\,T(u).
Com isso, mostramos que T preserva soma e escalar, logo T é linear.

Passo 4

Para verificar injetividade, analisamos o núcleo de T:
T(x,y)=(0,0)\quad\Longrightarrow\quad(4y,x)=(0,0)
implica
4y=0\quad\text{e}\quad x=0\quad\Longrightarrow\quad y=0\;\text{e}\;x=0.
O único vetor que vai em (0,0) é (0,0), ou seja, \ker T=\{(0,0)\}. Como o núcleo é trivial, T é injetiva.

Resposta

(a) T é linear porque satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
(b) T é injetiva, pois \ker T=\{(0,0)\}, o que exige que o único vetor enviado em (0,0) seja (0,0).

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