Questão 4.Dada a aplicação
definida por
.
(a)(Vale 2.0 pontos).Mostre que essa aplicação é linear.Sua solução deve ser feita detalhadamente!
(b)(Vale 2.0 pontos).Essa aplicação é injetiva?Justifique sua resposta!
(a)(Vale 2.0 pontos).Mostre que essa aplicação é linear.Sua solução deve ser feita detalhadamente!
(b)(Vale 2.0 pontos).Essa aplicação é injetiva?Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado define a aplicação
O conteúdo da matéria é transformação linear e injetividade. Para mostrar que
é linear, vamos usar a definição:
e
. Para decidir se
é injetiva, vamos analisar seu núcleo ou mostrar que
implica
.
Passo 2
Sejam
e
vetores em
. Então
portanto
Por outro lado,
Logo
Passo 3
Seja
e
. Então
portanto
Com isso, mostramos que
preserva soma e escalar, logo
é linear.
Passo 4
Para verificar injetividade, analisamos o núcleo de
:
implica
O único vetor que vai em
é
, ou seja,
. Como o núcleo é trivial,
é injetiva.
Resposta
(a)
é linear porque satisfaz
(b)
é injetiva, pois
, o que exige que o único vetor enviado em
seja
.