(Questão 3) [2 , 0 0] A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
(a) (u, v, w) LD Rightarrow(u, v) LD.
(b) (u, v, w) LD Rightarrow(u, v) LI.
(c) (u, v) LI Rightarrow(u, v, w) LD.
(d) (u, v) LI Rightarrow(u, v, w) LI.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre dependência e independência linear de vetores u,v,w. Lembrando que um conjunto (x1,dots,xk) é LD se existem escalares a1,dots,ak, nem todos zero, tais que
a1x1+cdots+akxk=0,
e é LI se a única solução dessa combinação é a1=cdots=ak=0. Vamos examinar cada item.

Passo 2

(a) “ (u,v,w) LD Rightarrow(u,v) LD.”
FALSO. Contra-exemplo em R^2:
u=(1,0), v=(0,1), w=(1,1).
Como
u+v-w=0,
os três são LD (combinação não trivial). Mas u e v são LI, pois
alphau+betav=0
só tem solução trivial alpha=beta=0. Logo (u,v) não é LD.

Passo 3

(b) “ (u,v,w) LD Rightarrow(u,v) LI.”
FALSO. Contra-exemplo em R^2:
u=(1,0), v=(2,0), w=(3,0).
Todos estão na mesma reta, logo o triplo é LD. Mas u e v também são LD (colineares), portanto não formam par LI.

Passo 4

(c) “ (u,v) LI Rightarrow(u,v,w) LD.”
FALSO. Contra-exemplo em R^3:
u=(1,0,0), v=(0,1,0) são LI, mas se tomarmos w=(0,0,1), então (u,v,w) continua LI, não LD.

Passo 5

(d) “ (u,v) LI Rightarrow(u,v,w) LI.”
FALSO. Contra-exemplo em R^2:
u=(1,0), v=(0,1) são LI, mas se w=(1,1) então
w-u-v=0
é combinação não trivial, logo o triplo é LD, não LI.

Resposta

(a) FALSO
(b) FALSO
(c) FALSO
(d) FALSO

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