(Questão 3)
A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre dependência e independência linear de vetores
. Lembrando que um conjunto
é LD se existem escalares
, nem todos zero, tais que
e é LI se a única solução dessa combinação é
. Vamos examinar cada item.
Passo 2
(a) “
LD
LD.”
FALSO. Contra-exemplo em :
,
,
.
Como
FALSO. Contra-exemplo em
Como
os três são LD (combinação não trivial). Mas
e
são LI, pois
só tem solução trivial . Logo
não é LD.
só tem solução trivial
Passo 3
(b) “
LD
LI.”
FALSO. Contra-exemplo em :
,
,
.
Todos estão na mesma reta, logo o triplo é LD. Mas e
também são LD (colineares), portanto não formam par LI.
FALSO. Contra-exemplo em
Todos estão na mesma reta, logo o triplo é LD. Mas
Passo 4
(c) “
LI
LD.”
FALSO. Contra-exemplo em :
,
são LI, mas se tomarmos
, então
continua LI, não LD.
FALSO. Contra-exemplo em
Passo 5
(d) “
LI
LI.”
FALSO. Contra-exemplo em :
,
são LI, mas se
então
FALSO. Contra-exemplo em
é combinação não trivial, logo o triplo é LD, não LI.
Resposta
(a) FALSO
(b) FALSO
(c) FALSO
(d) FALSO
(b) FALSO
(c) FALSO
(d) FALSO