• Questão 2. verifique que a série dada converge uniformemente no intervalo dado:
    \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n} e^{-n x} em [0, \infty).

Passo 1

O enunciado nos dá a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty} x^{n}e^{-n x}
definida em [0,\infty). Queremos mostrar que essa série converge uniformemente em todo esse intervalo. Para isso, vamos usar o Teste de Weierstrass (M-test), que diz: se existirem constantes M_n\ge0 tais que
\lvert f_n(x)\rvert\le M_n\quad\text{para todo \(x\in[0,\infty)\)}
e \sum M_n converge, então \sum f_n(x) converge uniformemente.

Passo 2

Defina a função auxiliar
g(x)=x\,e^{-x},\quad x\ge0.
Note que
f_n(x)=x^n e^{-n x}=\bigl(xe^{-x}\bigr)^n=\bigl(g(x)\bigr)^n.
Para encontrar um majorante uniforme, buscamos o máximo de g em [0,\infty). Calculamos
g'(x)=e^{-x}(1-x),
que se anula em x=1. Verificando sinais, g cresce até x=1 e decresce depois. Assim
\max_{x\ge0}g(x)=g(1)=\frac1e.
Logo, para todo x\in[0,\infty) vale
0\le g(x)\le \frac1e,
e portanto
\lvert f_n(x)\rvert=\bigl|g(x)\bigr|^n\le\Bigl(\frac1e\Bigr)^n.

Passo 3

Escolhemos
M_n=\Bigl(\frac1e\Bigr)^n.
Então \lvert f_n(x)\rvert\le M_n para todo x\in[0,\infty), e a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty}M_n=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac1e\Bigr)^n
é uma progressão geométrica de razão 1/e<1, logo converge. Pelo Teste de Weierstrass, a série \sum_{n=1}^\infty x^ne^{-nx} converge uniformemente em [0,\infty).

Resposta

A série converge uniformemente em [0,\infty) pelo Teste de Weierstrass, usando o majorante M_n=(1/e)^n.

Exercícios relacionados