Questão 2. verifique que a série dada converge uniformemente no intervalo dado: \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n} e^{-n x} em [0, \infty).
Passo 1
O enunciado nos dá a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty} x^{n}e^{-n x}
definida em [0,\infty). Queremos mostrar que essa série converge uniformemente em todo esse intervalo. Para isso, vamos usar o Teste de Weierstrass (M-test), que diz: se existirem constantes M_n\ge0 tais que
\lvert f_n(x)\rvert\le M_n\quad\text{para todo \(x\in[0,\infty)\)}
e \sum M_n converge, então \sum f_n(x) converge uniformemente.
é uma progressão geométrica de razão 1/e<1, logo converge. Pelo Teste de Weierstrass, a série \sum_{n=1}^\infty x^ne^{-nx} converge uniformemente em [0,\infty).
Resposta
A série converge uniformemente em [0,\infty) pelo Teste de Weierstrass, usando o majorante M_n=(1/e)^n.