(Questão 2) [2,00] Calcule [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ] sabendo que \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=2,\|\vec{w}\|=3, e que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) são dois a dois ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto misto [\vec u,\vec v,\vec w], também escrito como \vec u\cdot(\vec v\times\vec w). Sabemos que \|\vec u\|=1, \|\vec v\|=2, \|\vec w\|=3 e que os três vetores são mutuamente ortogonais. Vamos usar as propriedades do produto vetorial e escalar para vetores ortogonais.
Passo 2
Para quaisquer vetores ortogonais \vec v e \vec w, o módulo do produto vetorial satisfaz
onde \varphi é o ângulo entre \vec u e \vec v\times\vec w. Como \vec v\times\vec w é perpendicular ao plano gerado por \vec v e \vec w, ele é colinear com \vec u (ou anti-colinear), porque \vec u também é perpendicular a esse plano. Assim \varphi vale 0^\circ ou 180^\circ, de modo que \cos\varphi=\pm1.