(Questão 2) [2,00] Calcule [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ] sabendo que \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=2,\|\vec{w}\|=3, e que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) são dois a dois ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto [\vec u,\vec v,\vec w], também escrito como \vec u\cdot(\vec v\times\vec w). Sabemos que \|\vec u\|=1, \|\vec v\|=2, \|\vec w\|=3 e que os três vetores são mutuamente ortogonais. Vamos usar as propriedades do produto vetorial e escalar para vetores ortogonais.

Passo 2

Para quaisquer vetores ortogonais \vec v e \vec w, o módulo do produto vetorial satisfaz
\|\vec v\times\vec w\| \;=\;\|\vec v\|\;\|\vec w\|\;\bigl|\sin\theta\bigr|
como \theta=90^\circ, tem-se \sin\theta=1. Logo,
\|\vec v\times\vec w\| = \|\vec v\|\,\|\vec w\| = 2\cdot3 = 6.

Passo 3

O produto misto é
\vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = \|\vec u\|\;\|\vec v\times\vec w\|\;\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec u e \vec v\times\vec w. Como \vec v\times\vec w é perpendicular ao plano gerado por \vec v e \vec w, ele é colinear com \vec u (ou anti-colinear), porque \vec u também é perpendicular a esse plano. Assim \varphi vale 0^\circ ou 180^\circ, de modo que \cos\varphi=\pm1.

Passo 4

Substituindo os módulos e o cosseno, obtemos
[\vec u,\vec v,\vec w] = \vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = \|\vec u\|\;\|\vec v\times\vec w\|\;(\pm1) = 1\cdot6\cdot(\pm1) = \pm6.
O sinal + corresponde à orientação direta (orientação da base \{\vec u,\vec v,\vec w\} segundo a regra da mão direita).

Resposta

\displaystyle [\vec u,\vec v,\vec w]=\pm6, e em particular [\vec u,\vec v,\vec w]=6 se \{\vec u,\vec v,\vec w\} for orientada positivamente.

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