Seja \mathscr{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} a base do \mathbb{R}^{2} dada por \mathbf{v}_{1}=(1,-1)^{\top}, \mathbf{v}_{2}=(-1,2)^{\top}, e seja L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear tal que
Determine L\left(\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -1\end{array}\right]\right) e \left[L\left(\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -1\end{array}\right]\right)\right]_{\mathscr{B}}.
Passo 1
O enunciado dá a base \mathscr{B}=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
com \mathbf{v}_{1}=(1,-1)^{\top} e \mathbf{v}_{2}=(-1,2)^{\top},
e o operador linear L cuja matriz em relação a \mathscr{B} é
Queremos (i) L\bigl(\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}\bigr) em coordenadas canônicas e (ii) o vetor de coordenadas \bigl[L(\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix})\bigr]_{\mathscr{B}}. Para isso usamos três etapas: achar \bigl[\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}\bigr]_{\mathscr{B}}, aplicar a matriz de L, e converter de volta para coordenadas canônicas.