Seja \mathscr{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} a base do \mathbb{R}^{2} dada por \mathbf{v}_{1}=(1,-1)^{\top}, \mathbf{v}_{2}=(-1,2)^{\top}, e seja L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear tal que
[L]_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}}=\left[\begin{array}{cc} -3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
Determine L\left(\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -1\end{array}\right]\right) e \left[L\left(\left[\begin{array}{c}4 \\\\ -1\end{array}\right]\right)\right]_{\mathscr{B}}.

Passo 1

O enunciado dá a base
\mathscr{B}=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
com
\mathbf{v}_{1}=(1,-1)^{\top} e \mathbf{v}_{2}=(-1,2)^{\top},
e o operador linear L cuja matriz em relação a \mathscr{B} é
[L]_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}} = \begin{pmatrix} -3 & 1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Queremos (i) L\bigl(\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}\bigr) em coordenadas canônicas e (ii) o vetor de coordenadas \bigl[L(\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix})\bigr]_{\mathscr{B}}. Para isso usamos três etapas: achar \bigl[\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}\bigr]_{\mathscr{B}}, aplicar a matriz de L, e converter de volta para coordenadas canônicas.

Passo 2

Precisamos resolver
a\,\mathbf{v}_{1}+b\,\mathbf{v}_{2} = \begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix},
ou seja
a(1,-1) + b(-1,2) = (4,-1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a - b = 4,\\\\ -\,a + 2b = -1. \end{cases}
Da primeira equação a=4+b. Substituindo na segunda:
-(4+b) + 2b = -1 \quad\Longrightarrow\quad -4 + b = -1 \quad\Longrightarrow\quad b=3,
logo a=7. Portanto
\biggl[\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}\biggr]_{\mathscr{B}} = \begin{pmatrix}7\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos a matriz de L em coordenadas de \mathscr{B}:
\bigl[L(\mathbf{x})\bigr]_{\mathscr{B}} = \begin{pmatrix} -3 & 1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\cdot7 + 1\cdot3\\\\ 0\cdot7 + 2\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18\\\ 6\end{pmatrix}.

Passo 4

Para obter L(\mathbf{x}) em coordenadas canônicas, fazemos a combinação linear
L(\mathbf{x}) = -18\,\mathbf{v}_{1} + 6\,\mathbf{v}_{2} = -18\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +6\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 -6 \\\\ 18 +12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-24\\\ 30\end{pmatrix}.

Resposta

L\!\bigl(\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}-24\\\ 30\end{pmatrix}, \qquad \bigl[L(\begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix})\bigr]_{\mathscr{B}} = \begin{pmatrix}-18\\\ 6\end{pmatrix}.

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