Questão 3 [2,0 pontos]: Com base no que foi estudado na disciplina de Fisica Geral 3, responda os itens abaixo:
(a) [1,0] Qual a condição para que seja possivel definir o potencial elétrico? Escreva a definição do potencial elétrico e a expressäo para o potencial Coulombiano. Em quais condiçōes podemos usar a expressão para o potencial Coulombiano?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) qual é a condição necessária para que seja possível definir o potencial elétrico; (ii) escrever a definição do potencial elétrico e a expressão do potencial coulombiano; (iii) dizer em quais condições podemos usar a expressão do potencial coulombiano.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: estamos lidando com o conceito de potencial elétrico associado a campos elétricos gerados por cargas (incluindo a carga pontual cujo potencial é o potencial coulombiano).

Passo 2

Primeiro vamos entender que significa “ser possível definir o potencial elétrico”. Isso significa que, para qualquer dois pontos A e B do espaço, a diferença de potencial entre eles deve ser bem definida e independente do caminho escolhido entre A e B. Em linguagem matemática essa independência de caminho é equivalente a dizer que o campo elétrico é conservativo, o que se expressa por
\nabla\times \mathbf{E} = \mathbf{0}.
Expliquei o que é cada coisa: \mathbf{E} é o campo elétrico (um campo vetorial que em cada ponto dá a intensidade e direção da força por unidade de carga), e \nabla\times é o operador rotacional (curl), que mede a “rotação local” do campo. Se o rotacional é nulo, não existe circulação fechada do campo e a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho.

Passo 3

Agora a definição matemática do potencial elétrico. Se o campo elétrico satisfaz a condição do passo anterior ( \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}), definimos a diferença de potencial entre um ponto de referência \mathbf r_0 e um ponto \mathbf r por
V(\mathbf r)-V(\mathbf r_0) = -\int_{\mathbf r_0}^{\mathbf r} \mathbf E\cdot d\mathbf l.
Aqui V(\mathbf r) é o potencial elétrico no ponto \mathbf r, d\mathbf l é um elemento infinitesimal de caminho entre os pontos, e o sinal negativo é convenção (ele garante que \mathbf E aponta na direção de queda do potencial). Observação importante: o potencial é definido apenas à constante aditiva V(\mathbf r)\mapsto V(\mathbf r)+C, pois a diferença é o que importa.

Passo 4

Relação entre campo e potencial. Tomando derivadas, a relação entre \mathbf E e V é
\mathbf E = -\nabla V.
Isso vem diretamente da definição por integral: se V(\mathbf r) é dada pela integral negativa de \mathbf E, ao derivarmos localmente obtemos essa igualdade. Na prática, para calcular \mathbf E a partir de V computamos as derivadas parciais de V e colocamos o sinal negativo.

Passo 5

Agora vamos obter o potencial coulombiano a partir do campo elétrico de uma carga puntiforme. Para uma carga pontual q localizada na origem, o campo elétrico (em coordenadas radiais) é
\mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat r,
onde r=|\mathbf r| é a distância ao ponto de observação, \hat r é o versor radial (direção de \mathbf r), e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante física). Esse campo aponta radialmente para fora se q>0 e para dentro se q<0.

Passo 6

Integramos a definição do potencial escolhendo o referencial V(\infty)=0 (convenção comum). Então
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf E\cdot d\mathbf l.
Como o campo é radial, podemos tomar um caminho radial e escrever d\mathbf l = dr'\,\hat r e \mathbf E\cdot d\mathbf l = E(r')\,dr'. Substituindo,
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r'^2}\,dr'.
Calculamos a integral:
V(r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[ -\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}.
Esta é a expressão do potencial coulombiano de uma carga pontual: V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}. Note que o resultado está válido para r\neq 0 (fora do ponto onde a carga está localizada).

Passo 7

Interpretações e cuidados práticos (quando podemos usar essa expressão). Lista didática:
  • A expressão V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r} vale para o potencial gerado por uma carga pontual em um meio homogêneo e isotrópico. Em um meio com permissividade \varepsilon diferente de \varepsilon_0 substituímos \varepsilon_0 por \varepsilon.
  • Deve-se usar para pontos fora da posição da carga ( r>0); no ponto r=0 o potencial diverge (tende a infinito).
  • É válida no regime eletrostático (cargas estacionárias, campos independentes do tempo). Se houver campo magnético variando no tempo, a condição \nabla\times\mathbf E=\mathbf0 não vale (pela lei de Faraday \nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t) e então não é possível definir V globalmente como escalar único.
  • Para várias cargas pontuais aplicamos o princípio da superposição:
V(\mathbf r)=\sum_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{|\mathbf r-\mathbf r_i|}.
  • Para distribuições contínuas de carga usamos a integral
V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,d^3r',
válida sob as mesmas hipóteses (meio linear, estático, região onde \nabla\times\mathbf E=\mathbf0, etc.).
  • Região simplesmente conexa: para que V seja único globalmente é importante que o domínio onde queremos V seja simplesmente conectado (sem “buracos” que permitam percursos fechados contornando regiões com fluxo magnético variável). Na prática de exercícios de eletrostática usualmente isso não é um problema.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (como usar no papel):
  • Ao ver um campo radial E(r)=k/r^2, já pense imediatamente em integrar para obter V(r)=k/r escolhendo V(\infty)=0.
  • Lembre que o potencial é definido até uma constante — se pedirem diferença de potencial entre A e B use a integral entre os pontos e a constante some.
  • Se o enunciado menciona campos dependentes do tempo ou indutores/fluxo magnético variando, suspeite que potencial escalar não é apropriado (pode ser necessário potencial vetorial ou tratar com a lei de Faraday).

Resposta

Condição: \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} (ou seja, o campo elétrico é conservativo e as integrais de linha são independentes do caminho).
Definição e potencial coulombiano: V(\mathbf r)-V(\mathbf r_0) = -\displaystyle\int_{\mathbf r_0}^{\mathbf r}\mathbf E\cdot d\mathbf l. Para uma carga pontual q escolhendo V(\infty)=0,
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}.
Condições de validade: campo eletrostático (cargas estacionárias, sem \partial\mathbf B/\partial t), ponto considerado fora da posição da carga ( r\neq0), meio homogêneo linear (substituir \varepsilon_0 por \varepsilon se necessário), região simplesmente conexa; para várias cargas usar superposição V=\sum_i \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_i}{|\mathbf r-\mathbf r_i|}.

Exercícios relacionados