Questão 3 [2,0 pontos]: Com base no que foi estudado na disciplina de Fisica Geral 3, responda os itens abaixo:
(a) [1,0] Qual a condição para que seja possivel definir o potencial elétrico? Escreva a definição do potencial elétrico e a expressäo para o potencial Coulombiano. Em quais condiçōes podemos usar a expressão para o potencial Coulombiano?
(a) [1,0] Qual a condição para que seja possivel definir o potencial elétrico? Escreva a definição do potencial elétrico e a expressäo para o potencial Coulombiano. Em quais condiçōes podemos usar a expressão para o potencial Coulombiano?
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) qual é a condição necessária para que seja possível definir o potencial elétrico; (ii) escrever a definição do potencial elétrico e a expressão do potencial coulombiano; (iii) dizer em quais condições podemos usar a expressão do potencial coulombiano.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: estamos lidando com o conceito de potencial elétrico associado a campos elétricos gerados por cargas (incluindo a carga pontual cujo potencial é o potencial coulombiano).
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: estamos lidando com o conceito de potencial elétrico associado a campos elétricos gerados por cargas (incluindo a carga pontual cujo potencial é o potencial coulombiano).
Passo 2
Primeiro vamos entender que significa “ser possível definir o potencial elétrico”. Isso significa que, para qualquer dois pontos
e
do espaço, a diferença de potencial entre eles deve ser bem definida e independente do caminho escolhido entre
e
. Em linguagem matemática essa independência de caminho é equivalente a dizer que o campo elétrico é conservativo, o que se expressa por
Expliquei o que é cada coisa:
é o campo elétrico (um campo vetorial que em cada ponto dá a intensidade e direção da força por unidade de carga), e
é o operador rotacional (curl), que mede a “rotação local” do campo. Se o rotacional é nulo, não existe circulação fechada do campo e a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho.
Passo 3
Agora a definição matemática do potencial elétrico. Se o campo elétrico satisfaz a condição do passo anterior (
), definimos a diferença de potencial entre um ponto de referência
e um ponto
por
Aqui
é o potencial elétrico no ponto
,
é um elemento infinitesimal de caminho entre os pontos, e o sinal negativo é convenção (ele garante que
aponta na direção de queda do potencial). Observação importante: o potencial é definido apenas à constante aditiva
, pois a diferença é o que importa.
Passo 4
Relação entre campo e potencial. Tomando derivadas, a relação entre
e
é
Isso vem diretamente da definição por integral: se
é dada pela integral negativa de
, ao derivarmos localmente obtemos essa igualdade. Na prática, para calcular
a partir de
computamos as derivadas parciais de
e colocamos o sinal negativo.
Passo 5
Agora vamos obter o potencial coulombiano a partir do campo elétrico de uma carga puntiforme. Para uma carga pontual
localizada na origem, o campo elétrico (em coordenadas radiais) é
onde
é a distância ao ponto de observação,
é o versor radial (direção de
), e
é a permissividade do vácuo (constante física). Esse campo aponta radialmente para fora se
e para dentro se
.
Passo 6
Integramos a definição do potencial escolhendo o referencial
(convenção comum). Então
Como o campo é radial, podemos tomar um caminho radial e escrever
e
. Substituindo,
Calculamos a integral:
Esta é a expressão do potencial coulombiano de uma carga pontual:
. Note que o resultado está válido para
(fora do ponto onde a carga está localizada).
Passo 7
Interpretações e cuidados práticos (quando podemos usar essa expressão). Lista didática:
- A expressão
vale para o potencial gerado por uma carga pontual em um meio homogêneo e isotrópico. Em um meio com permissividade diferente de substituímos por . - Deve-se usar para pontos fora da posição da carga (
); no ponto o potencial diverge (tende a infinito). - É válida no regime eletrostático (cargas estacionárias, campos independentes do tempo). Se houver campo magnético variando no tempo, a condição
não vale (pela lei de Faraday ) e então não é possível definir globalmente como escalar único. - Para várias cargas pontuais aplicamos o princípio da superposição:
- Para distribuições contínuas de carga usamos a integral
válida sob as mesmas hipóteses (meio linear, estático, região onde
, etc.).
- Região simplesmente conexa: para que
seja único globalmente é importante que o domínio onde queremos seja simplesmente conectado (sem “buracos” que permitam percursos fechados contornando regiões com fluxo magnético variável). Na prática de exercícios de eletrostática usualmente isso não é um problema.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como usar no papel):
- Ao ver um campo radial
, já pense imediatamente em integrar para obter escolhendo . - Lembre que o potencial é definido até uma constante — se pedirem diferença de potencial entre
e use a integral entre os pontos e a constante some. - Se o enunciado menciona campos dependentes do tempo ou indutores/fluxo magnético variando, suspeite que potencial escalar não é apropriado (pode ser necessário potencial vetorial ou tratar com a lei de Faraday).
Resposta
Condição:
(ou seja, o campo elétrico é conservativo e as integrais de linha são independentes do caminho).
Definição e potencial coulombiano: . Para uma carga pontual
escolhendo
,
Definição e potencial coulombiano:
Condições de validade: campo eletrostático (cargas estacionárias, sem
), ponto considerado fora da posição da carga (
), meio homogêneo linear (substituir
por
se necessário), região simplesmente conexa; para várias cargas usar superposição
.