Questão 3 (+2 pontos) Cada diagonal de um quadrilátero convexo o divide em dois triângulos de mesma área. Prove que este quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 1

Vamos chamar de ABCD o quadrilátero convexo em questão, com diagonais AC e BD. O enunciado diz que cada uma dessas diagonais divide o quadrilátero em dois triângulos de mesma área. O conteúdo usado será área de triângulos, razões de áreas em triângulos que compartilham a mesma altura e o fato clássico de que um quadrilátero cujas diagonais se bissetam é um paralelogramo.

Passo 2

Sejam \mathcal{A}(XYZ) as áreas dos triângulos XYZ e O = AC\cap BD o ponto de interseção das diagonais.
Como a diagonal AC divide ABCD em dois triângulos de mesma área, temos
\mathcal{A}(ABC) \;=\;\mathcal{A}(ADC).
Escrevendo cada área como soma das duas subáreas em torno de O,
\bigl[\mathcal{A}(ABO)+\mathcal{A}(BCO)\bigr] \;=\; \bigl[\mathcal{A}(AOD)+\mathcal{A}(COD)\bigr].
Analogamente, pela diagonal BD,
\mathcal{A}(ABD) \;=\;\mathcal{A}(BCD) \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl[\mathcal{A}(ABO)+\mathcal{A}(AOD)\bigr] \;=\; \bigl[\mathcal{A}(BCO)+\mathcal{A}(COD)\bigr].

Passo 3

Das duas igualdades obtidas em área, subtraímos termo a termo para isolar as subáreas. Fazendo
\begin{cases} \mathcal{A}(ABO)+\mathcal{A}(BCO) =\mathcal{A}(AOD)+\mathcal{A}(COD),\\\ \mathcal{A}(ABO)+\mathcal{A}(AOD) =\mathcal{A}(BCO)+\mathcal{A}(COD), \end{cases}
segue-se por eliminação que
\mathcal{A}(ABO) =\mathcal{A}(COD) \quad\text{e}\quad \mathcal{A}(BCO) =\mathcal{A}(AOD).

Passo 4

Agora usamos razões de áreas em triângulos que têm um vértice sobre AC. No triângulo ABC, os triângulos ABO e BCO compartilham a mesma altura vinda de B sobre a reta AC. Logo
\frac{\mathcal{A}(ABO)}{\mathcal{A}(BCO)} =\frac{AO}{OC}.
Mas \mathcal{A}(ABO)=\mathcal{A}(COD) e \mathcal{A}(BCO)=\mathcal{A}(AOD), então
\frac{\mathcal{A}(COD)}{\mathcal{A}(AOD)} =\frac{AO}{OC}.
Por outro lado, no triângulo ADC, os triângulos COD e AOD compartilham altura de D sobre AC, de onde
\frac{\mathcal{A}(COD)}{\mathcal{A}(AOD)} =\frac{CO}{AO}.
Comparando as duas razões resulta
\frac{AO}{OC}=\frac{CO}{AO} \;\Longrightarrow\; AO^2=OC^2 \;\Longrightarrow\; AO=OC.
Isto mostra que O é ponto médio de AC.

Passo 5

De modo completamente análogo, no triângulo ABD a igualdade \mathcal{A}(ABO)=\mathcal{A}(COD) e \mathcal{A}(AOD)=\mathcal{A}(BCO) conduz, ao comparar razões de subáreas que usam BD como base, a
BO=OD.
Portanto O também é ponto médio de BD.

Passo 6

Como as diagonais de ABCD se bissetam mutuamente ( AO=OC e BO=OD), temos a condição necessária e suficiente para que ABCD seja um paralelogramo.

Resposta

O quadrilátero é um paralelogramo.

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