Questão 3 (+2 pontos) Cada diagonal de um quadrilátero convexo o divide em dois triângulos de mesma área. Prove que este quadrilátero é um paralelogramo.
Passo 1
Vamos chamar de
o quadrilátero convexo em questão, com diagonais
e
. O enunciado diz que cada uma dessas diagonais divide o quadrilátero em dois triângulos de mesma área. O conteúdo usado será área de triângulos, razões de áreas em triângulos que compartilham a mesma altura e o fato clássico de que um quadrilátero cujas diagonais se bissetam é um paralelogramo.
Passo 2
Sejam
as áreas dos triângulos
e
o ponto de interseção das diagonais.
Como a diagonal divide
em dois triângulos de mesma área, temos
Como a diagonal
Escrevendo cada área como soma das duas subáreas em torno de
,
Analogamente, pela diagonal
,
Passo 3
Das duas igualdades obtidas em área, subtraímos termo a termo para isolar as subáreas. Fazendo
segue-se por eliminação que
Passo 4
Agora usamos razões de áreas em triângulos que têm um vértice sobre
. No triângulo
, os triângulos
e
compartilham a mesma altura vinda de
sobre a reta
. Logo
Mas
e
, então
Por outro lado, no triângulo
, os triângulos
e
compartilham altura de
sobre
, de onde
Comparando as duas razões resulta
Isto mostra que
é ponto médio de
.
Passo 5
De modo completamente análogo, no triângulo
a igualdade
e
conduz, ao comparar razões de subáreas que usam
como base, a
Portanto
também é ponto médio de
.
Passo 6
Como as diagonais de
se bissetam mutuamente (
e
), temos a condição necessária e suficiente para que
seja um paralelogramo.
Resposta
O quadrilátero é um paralelogramo.