Questão 1 (+2 pontos) Em um triângulo A B C inscrito em um círculo, considere a reta \overleftrightarrow{A T} tangente ao círculo no ponto A, tal que T está do mesmo lado que B com respeito a \overleftrightarrow{A C}. Mostre que B \hat{C} A=B \hat{A} T.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC inscrito em um círculo de centro O e a reta tangente ao círculo em A, que chamaremos de AT. O ponto T está no mesmo semiplano que B em relação a AC. Queremos provar que
\angle BCA \;=\;\angle BAT.
Para isso, vamos usar:
  • Teorema do ângulo inscrito (ângulo inscrito = metade do arco que subtende).
  • Propriedade de tangente: a reta tangente em A é perpendicular ao raio OA.
  • Fatos sobre triângulo isósceles OAB, pois OA=OB.

Passo 2

Pelo Teorema do Ângulo Inscrito, o ângulo \angle BCA é a metade da medida do arco \widehat{BA} do círculo que não contém C. Em símbolos:
\angle BCA \;=\;\frac{1}{2}\,\bigl|\widehat{BA}\bigr|.

Passo 3

Como AT é tangente em A, temos
OA \perp AT.
No triângulo OAB, os lados OA e OB são raios, logo
OA = OB,
e o triângulo OAB é isósceles. Seja \theta = \angle AOB o ângulo central que subtende o arco \widehat{BA}. Então, os ângulos da base satisfazem
\angle OAB = \angle OBA \quad\text{e}\quad \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ.
Como \angle OAB=\angle OBA, segue
2\,\angle OAB + \theta = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle OAB = \frac{180^\circ - \theta}{2}.

Passo 4

O ângulo que nos interessa, \angle BAT, é formado por AB e pela tangente AT. Como OA\perp AT, ele é complementar a \angle OAB:
\angle BAT = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \frac{180^\circ - \theta}{2} = \frac{\theta}{2}.
Mas \theta=\angle AOB é justamente o dobro de qualquer ângulo inscrito que subtende o mesmo arco \widehat{BA}. Em particular,
\angle BCA = \frac12\,\bigl|\widehat{BA}\bigr| = \frac12\,\theta.
Portanto
\angle BAT = \frac{\theta}{2} = \angle BCA.

Resposta

\boxed{\angle BCA = \angle BAT.}

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