Questão 1 (+2 pontos) Em um triângulo A B C inscrito em um círculo, considere a reta \overleftrightarrow{A T} tangente ao círculo no ponto A, tal que T está do mesmo lado que B com respeito a \overleftrightarrow{A C}. Mostre que B \hat{C} A=B \hat{A} T.
Passo 1
O enunciado descreve um triângulo ABC inscrito em um círculo de centro O e a reta tangente ao círculo em A, que chamaremos de AT. O ponto T está no mesmo semiplano que B em relação a AC. Queremos provar que
\angle BCA \;=\;\angle BAT.
Para isso, vamos usar:
Teorema do ângulo inscrito (ângulo inscrito = metade do arco que subtende).
Propriedade de tangente: a reta tangente em A é perpendicular ao raio OA.
Fatos sobre triângulo isósceles OAB, pois OA=OB.
Passo 2
Pelo Teorema do Ângulo Inscrito, o ângulo \angle BCA é a metade da medida do arco \widehat{BA} do círculo que não contém C. Em símbolos: