Questão 5 (+2 pontos) Se três retas não coplanares são concorrentes duas as duas então elas se intersectam em um mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado diz que temos três retas l_1, l_2 e l_3 no espaço, que não são coplanares (ou seja, não existe um mesmo plano contendo as três), e que cada par delas se intersecta (isto é, são concorrentes duas a duas). O conteúdo é geometria espacial de retas e planos, e vamos usar as definições de plano determinado por duas retas concorrentes e de coplanaridade.

Passo 2

Duas retas concorrentes, digamos l_i e l_j, sempre determinam um único plano que as contém. Se três retas fossem todas pares-a-pares concorrentes em pontos distintos A, B e C, poderíamos associar:
- A = l_1 \cap l_2,
- B = l_1 \cap l_3,
- C = l_2 \cap l_3.
Se A, B e C fossem distintos, eles definiriam um plano (o plano do triângulo ABC).

Passo 3

Suponha, por absurdo, que as três retas não sejam concorrentes em um mesmo ponto, ou seja, que os pontos de interseção A, B e C sejam distintos. Então:
1. O plano \pi_{12} determinado por l_1 e l_2 contém A.
2. O plano \pi_{13} determinado por l_1 e l_3 contém B.
3. O plano \pi_{23} determinado por l_2 e l_3 contém C.
Porém, se A, B e C são três pontos não colineares, eles definem um único plano \pi que contém o triângulo ABC. Nesse caso cada reta passa por dois desses vértices ( l_1 liga A a B, etc.), logo todas as três ficariam contidas em \pi. Isso contradiz a hipótese de não coplanaridade. Portanto a hipótese de que os pontos de interseção fossem distintos é falsa, e só resta a possibilidade de A=B=C.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados