Questão 5 (+2 pontos) Se três retas não coplanares são concorrentes duas as duas então elas se intersectam em um mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado diz que temos três retas
,
e
no espaço, que não são coplanares (ou seja, não existe um mesmo plano contendo as três), e que cada par delas se intersecta (isto é, são concorrentes duas a duas). O conteúdo é geometria espacial de retas e planos, e vamos usar as definições de plano determinado por duas retas concorrentes e de coplanaridade.
Passo 2
Duas retas concorrentes, digamos
e
, sempre determinam um único plano que as contém. Se três retas fossem todas pares-a-pares concorrentes em pontos distintos
,
e
, poderíamos associar:
- ,
- ,
- .
Se ,
e
fossem distintos, eles definiriam um plano (o plano do triângulo
).
-
-
-
Se
Passo 3
Suponha, por absurdo, que as três retas não sejam concorrentes em um mesmo ponto, ou seja, que os pontos de interseção
,
e
sejam distintos. Então:
. O plano
determinado por
e
contém
.
. O plano
determinado por
e
contém
.
. O plano
determinado por
e
contém
.
Porém, se
,
e
são três pontos não colineares, eles definem um único plano
que contém o triângulo
. Nesse caso cada reta passa por dois desses vértices (
liga
a
, etc.), logo todas as três ficariam contidas em
. Isso contradiz a hipótese de não coplanaridade. Portanto a hipótese de que os pontos de interseção fossem distintos é falsa, e só resta a possibilidade de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.