Questão 2 (+2 pontos) Sejam A B C um triângulo, p o seu semiperímetro, R o raio do círculo circunscrito, obtenha a seguinte identidade:
\operatorname{sen} \hat{A}+\operatorname{sen} \hat{B}+\operatorname{sen} \hat{C}=\frac{p}{R} .

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC de lados a=BC, b=CA, c=AB, semiperímetro
p=\frac{a+b+c}{2}
e raio do circuncírculo R. Queremos mostrar
\sin \hat{A}+\sin \hat{B}+\sin \hat{C}=\frac{p}{R}.
O conteúdo-chave aqui é a Lei dos Senos.

Passo 2

Pela Lei dos Senos, em qualquer triângulo vale
\frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{b}{\sin \hat{B}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}=2R.

Passo 3

Isolando cada seno obtemos
\sin \hat{A}=\frac{a}{2R},\quad \sin \hat{B}=\frac{b}{2R},\quad \sin \hat{C}=\frac{c}{2R}.

Passo 4

Somando as três igualdades, vem
\sin \hat{A}+\sin \hat{B}+\sin \hat{C} =\frac{a+b+c}{2R} =\frac{2p}{2R} =\frac{p}{R}.

Resposta

\sin \hat{A}+\sin \hat{B}+\sin \hat{C}=\frac{p}{R}.

Exercícios relacionados