Questão 3 [2,0 pontos]: Calcule os limites a seguir, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é
dividida por . - O ponto onde o limite é pedido é
.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para a função seno vale o limite clássico
Explicação simples por desigualdades (intuição geométrica): para
tem-se
. Dividindo tudo por
e invertendo cuidadosamente obtém-se
e como
quando
, pelo Teorema do Confronto segue
. Esse é o passo-chave para limites envolvendo funções trigonométricas pequenas.
Também usaremos que a função
é contínua em
, logo
Passo 3
Reescrevemos
em termos de seno e cosseno:
Agora manipulamos para obter um fator do tipo
, que sabemos limitar para
. Faça a reorganização algébrica isolando esse fator:
Passo 4
Aplicamos limites aos fatores (regra: se os limites individuais existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites).
- Pelo teorema do Passo 2, com a substituição
,
- O fator constante
permanece . - Como
é contínua,
Multiplicando os limites: