Questão 3 [2,0 pontos]: Calcule os limites a seguir, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 7 x}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}7x}{3x}.
Informações dadas:
  • A função é \operatorname{tg}7x dividida por 3x.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to 0.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para a função seno vale o limite clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicação simples por desigualdades (intuição geométrica): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} tem-se \sin u<u<\tan u. Dividindo tudo por u e invertendo cuidadosamente obtém-se
\cos u<\frac{\sin u}{u}<1,
e como \cos u\to 1 quando u\to 0, pelo Teorema do Confronto segue \dfrac{\sin u}{u}\to 1. Esse é o passo-chave para limites envolvendo funções trigonométricas pequenas.
Também usaremos que a função \cos é contínua em 0, logo
\lim_{x\to 0}\cos(7x)=\cos 0=1.

Passo 3

Reescrevemos \operatorname{tg} em termos de seno e cosseno:
\frac{\operatorname{tg}7x}{3x}=\frac{\sin 7x}{3x\cos 7x}.
Agora manipulamos para obter um fator do tipo \dfrac{\sin 7x}{7x}, que sabemos limitar para 1. Faça a reorganização algébrica isolando esse fator:
\frac{\sin 7x}{3x\cos 7x} = \frac{\sin 7x}{7x}\cdot\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{\cos 7x}.

Passo 4

Aplicamos limites aos fatores (regra: se os limites individuais existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites).
  • Pelo teorema do Passo 2, com a substituição u=7x,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x}{7x}=1.
  • O fator constante \dfrac{7}{3} permanece \dfrac{7}{3}.
  • Como \cos é contínua,
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos 7x}=\frac{1}{\cos 0}=1.
Multiplicando os limites:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}7x}{3x} =1\cdot\frac{7}{3}\cdot 1=\frac{7}{3}.

Resposta

\dfrac{7}{3}

Exercícios relacionados