Questão 1:
[2
pontos]
Calcule a seguinte integral iterada
Calcule a seguinte integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que o exercício pediu. A questão é calcular
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, seguindo a ordem dada: primeiro $ z $, depois $ y $, e por último $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. Observa que a função dentro da integral, $ x \cos y^{2} $, não depende de $ z $. Então, a integral em relação a $ z $ é bem simples:
Como $ x \cos y^{2} $ é constante em relação a $ z $, a integral fica:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da integração de $ z $ na integral original. Ficamos com:
Vamos seguir para a próxima integração, que é em relação a $ y $.
Passo 4
Vamos integrar $ 4x \cos y^{2} $ em relação a $ y $ de $ x^{2} $ a $ 4 $:
A função $ \cos y^{2} $ não possui uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressar essa integral usando funções básicas conhecidas. Portanto, vamos deixar a integral assim e passar para a última etapa.
Passo 5
Por último, restou integrar em relação a $ x $ de $ 0 $ a $ 2 $:
Como não conseguimos resolver a integral em $ y $ de forma direta, nosso resultado final será expresso em termos dessa integral interna.
Resposta
O valor da integral iterada é dado por
que não pode ser simplificado usando funções elementares.