Questão 1:

[2 1 / 2 pontos]
Calcule a seguinte integral iterada
integral0^2 integralx^2^4 integral1^5 x cos y^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que o exercício pediu. A questão é calcular
integral0^2 integralx^2^4 integral1^5 x cos y^2 , dz , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, seguindo a ordem dada: primeiro $ z $, depois $ y $, e por último $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $. Observa que a função dentro da integral, $ x \cos y^{2} $, não depende de $ z $. Então, a integral em relação a $ z $ é bem simples:
z
Como $ x \cos y^{2} $ é constante em relação a $ z $, a integral fica:
x cos y^2

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integração de $ z $ na integral original. Ficamos com:
z
Vamos seguir para a próxima integração, que é em relação a $ y $.

Passo 4

Vamos integrar $ 4x \cos y^{2} $ em relação a $ y $ de $ x^{2} $ a $ 4 $:
4x cos y^2
A função $ \cos y^{2} $ não possui uma antiderivada elementar, ou seja, não podemos expressar essa integral usando funções básicas conhecidas. Portanto, vamos deixar a integral assim e passar para a última etapa.

Passo 5

Por último, restou integrar em relação a $ x $ de $ 0 $ a $ 2 $:
x
Como não conseguimos resolver a integral em $ y $ de forma direta, nosso resultado final será expresso em termos dessa integral interna.

Resposta

O valor da integral iterada é dado por
integral0^2 ( integralx^2^4 4x cos y^2 , dy ) dx
que não pode ser simplificado usando funções elementares.

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