Questão 2 [2.5 pontos] Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}-2 & 12 \\\\ -1 & 5\end{array}\right] e os vetores \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 3\end{array}\right] e \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1\end{array}\right], e faça o que se pede:
(a) Determine se cada um dos vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, e \mathbf{w} de \mathbb{R}^{2} é ou não um autovetor da matriz A. Justifique suas afirmações (não vale somente dar a resposta). Em caso afirmativo, indique o autovalor associado.
Sugestão: Aplique a definição dos conceitos de autovalor e autovetor.
(b) Se possível, exiba uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}, ou seja, se possível, diagonalize a matriz A.
Sugestão: Use os resultados do item (a).
(c) Obtenha uma fórmula fechada para A^{k}, onde k é um inteiro positivo arbitrário. Escreva explicitamente cada entrada da matriz A^{k}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}-2 & 12\\[4pt] -1 & 5\end{pmatrix}.
  • Vetores dados:
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
(a) Determinar se cada um dos vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} é ou não autovetor de A. Se for, indicar o autovalor associado; justificar cada afirmação.
(b) Se possível, exibir uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que A=PDP^{-1} (ou seja, diagonalizar A).
(c) Obter uma fórmula fechada para A^{k} ( k inteiro positivo), escrevendo explicitamente cada entrada de A^{k}.]

Passo 2

Recordando a definição (explicação didática): um vetor não nulo \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2 é autovetor de A se existir um escalar \lambda tal que
A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.
Aqui \lambda é o autovalor associado a \mathbf{x}. Na prática, para cada vetor testamos a multiplicação A\mathbf{x} e verificamos se o resultado é proporcional a \mathbf{x}; se for, a constante de proporcionalidade é o autovalor.
Vou calcular A\mathbf{u}, A\mathbf{v} e A\mathbf{w} passo a passo (lembre que multiplicação de matriz por vetor faz produto escalar linha a coluna).

Passo 3

Calcular A\mathbf{u} com \mathbf{u}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Produto linha-coluna:
A\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-2 & 12\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot 4 + 12\cdot 1\\[6pt] -1\cdot 4 + 5\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 + 12\\[4pt] -4 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observe que A\mathbf{u}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}=\mathbf{u}. Portanto A\mathbf{u}=1\cdot\mathbf{u}, ou seja, \mathbf{u} é um autovetor de A com autovalor \lambda=1.
Comentário rápido (didático): quando a multiplicação retorna exatamente o mesmo vetor, a escala é \lambda=1.]

Passo 4

Calcular A\mathbf{v} com \mathbf{v}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A\mathbf{v} = \begin{pmatrix}-2 & 12\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot 4 + 12\cdot 3\\[6pt] -1\cdot 4 + 5\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 + 36\\[4pt] -4 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}28\\[4pt]11\end{pmatrix}.
Para ser autovetor, esse resultado teria de ser um múltiplo escalar de \mathbf{v}. Compare componentes:
\frac{28}{4}=7,\qquad \frac{11}{3}\approx 3{,}666\ldots
Os quocientes não coincidem, logo não existe escalar \lambda tal que A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. Conclusão: \mathbf{v} NÃO é autovetor de A.
Didaticamente: basta que os dois componentes resultantes não tenham a mesma razão em relação aos componentes originais para concluir que não é autovetor.]

Passo 5

Calcular A\mathbf{w} com \mathbf{w}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A\mathbf{w} = \begin{pmatrix}-2 & 12\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot 3 + 12\cdot 1\\[6pt] -1\cdot 3 + 5\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 12\\[4pt] -3 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Note que \begin{pmatrix}6\\[4pt]2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\mathbf{w}. Portanto A\mathbf{w}=2\mathbf{w}, isto é, \mathbf{w} é autovetor de A com autovalor \lambda=2.]

Passo 6

Resumo das respostas do item (a) (com justificativa já dada pelos cálculos):
  • \mathbf{u} é autovetor com autovalor \lambda=1, pois A\mathbf{u}=\mathbf{u}.
  • \mathbf{v} não é autovetor, pois A\mathbf{v}=\begin{pmatrix}28\\[4pt]11\end{pmatrix} não é proporcional a \mathbf{v}.
  • \mathbf{w} é autovetor com autovalor \lambda=2, pois A\mathbf{w}=2\mathbf{w}.
Agora, para diagonalizar A (item b), preciso de duas colunas linearmente independentes formadas por autovetores. Vou checar se \mathbf{u} e \mathbf{w} são linearmente independentes.]

Passo 7

Verificar independência de \mathbf{u} e \mathbf{w}. Formo a matriz cujo colunas são \mathbf{u} e \mathbf{w}:
P=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det(P)=4\cdot 1 - 3\cdot 1 = 1\neq 0.
Determinante não nulo implica que as colunas são linearmente independentes e P é invertível. Portanto é possível diagonalizar A usando \mathbf{u} e \mathbf{w} como colunas de P.
Usando a propriedade A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} aplicada às colunas, obtemos AP=P D, onde D é a diagonal com os autovalores correspondentes às colunas.]

Passo 8

Construo explicitamente P e D (item b) escolhendo a ordem das colunas como \mathbf{u},\mathbf{w}:
P=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Justificativa curta: já mostramos A\mathbf{u}=1\mathbf{u} e A\mathbf{w}=2\mathbf{w}. Então
AP=\big(A\mathbf{u}\\ \\ A\mathbf{w}\big)=\big(1\mathbf{u}\\ \\\ 2\mathbf{w}\big)=P D.
Multiplicando à direita por P^{-1} obtém-se A=PDP^{-1}. Como \det(P)=1, a inversa é simples de obter:
P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}.
(Verificação rápida: P^{-1} é a adjunta dividida por \det(P)=1.)]

Passo 9

Agora o item (c): usar diagonalização para obter fórmula fechada para A^{k}.
Propriedade útil (explicação didática): se A=PDP^{-1} com D diagonal, então
A^{k} = P D^{k} P^{-1},
pois (por indução) A^2 = P D P^{-1} P D P^{-1} = P D^2 P^{-1}, etc. Em diagonal D é fácil elevar à potência: basta elevar cada entrada da diagonal.
Aqui
D^{k}=\begin{pmatrix}1^{k} & 0\\[4pt]0 & 2^{k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2^{k}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Cálculo explícito de A^{k}=P D^{k} P^{-1} escrevendo cada entrada.
Primeiro calculo P D^{k}:
P D^{k}= \begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2^{k}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot 1 + 3\cdot 0 & 4\cdot 0 + 3\cdot 2^{k}\\[6pt] 1\cdot 1 + 1\cdot 0 & 1\cdot 0 + 1\cdot 2^{k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3\cdot 2^{k}\\[4pt] 1 & 2^{k} \end{pmatrix}.
Agora multiplico por P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}:
A^{k} = (P D^{k})P^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3\cdot 2^{k}\\[4pt] 1 & 2^{k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}.
Faço as multiplicações de linhas por colunas para obter as entradas:
  • Entrada (1,1):
4\cdot 1 + (3\cdot 2^{k})\cdot(-1) = 4 - 3\cdot 2^{k}.
  • Entrada (1,2):
4\cdot(-3) + (3\cdot 2^{k})\cdot 4 = -12 + 12\cdot 2^{k} = 12(2^{k}-1).
  • Entrada (2,1):
1\cdot 1 + (2^{k})\cdot(-1) = 1 - 2^{k}.
  • Entrada (2,2):
1\cdot(-3) + (2^{k})\cdot 4 = -3 + 4\cdot 2^{k} = 4\cdot 2^{k} - 3.
Portanto a fórmula fechada é
A^{k}= \begin{pmatrix} 4 - 3\cdot 2^{k} & 12(2^{k}-1)\\[6pt] 1 - 2^{k} & 4\cdot 2^{k} - 3 \end{pmatrix},
válida para todo inteiro positivo k. Verificação rápida: para k=1 recupera-se
A^{1}=\begin{pmatrix}-2 & 12\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix},
pois substituindo 2^{1}=2 obtém-se \begin{pmatrix}4-6 & 12(2-1)\\[4pt]1-2 & 8-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 12\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}, OK.]

Resposta

(a) \mathbf{u} é autovetor com autovalor \lambda=1;\quad \mathbf{v} não é autovetor;\quad \mathbf{w} é autovetor com autovalor \lambda=2.
(b) Uma diagonalização é
P=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
pois A=PDP^{-1} e P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}.
(c) Para todo inteiro positivo k,
A^{k}= \begin{pmatrix} 4 - 3\cdot 2^{k} & 12(2^{k}-1)\\[6pt] 1 - 2^{k} & 4\cdot 2^{k} - 3 \end{pmatrix}.]

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