Questão 2 [2.5 pontos] Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}-2 & 12 \\\\ -1 & 5\end{array}\right] e os vetores \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 3\end{array}\right] e \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1\end{array}\right], e faça o que se pede:
(a) Determine se cada um dos vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, e \mathbf{w} de \mathbb{R}^{2} é ou não um autovetor da matriz A. Justifique suas afirmações (não vale somente dar a resposta). Em caso afirmativo, indique o autovalor associado.
Sugestão: Aplique a definição dos conceitos de autovalor e autovetor.
(b) Se possível, exiba uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}, ou seja, se possível, diagonalize a matriz A.
Sugestão: Use os resultados do item (a).
(c) Obtenha uma fórmula fechada para A^{k}, onde k é um inteiro positivo arbitrário. Escreva explicitamente cada entrada da matriz A^{k}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
O enunciado pede:
(a) Determinar se cada um dos vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} é ou não autovetor de A. Se for, indicar o autovalor associado; justificar cada afirmação.
(b) Se possível, exibir uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que A=PDP^{-1} (ou seja, diagonalizar A).
(c) Obter uma fórmula fechada para A^{k} (k inteiro positivo), escrevendo explicitamente cada entrada de A^{k}.]
Passo 2
Recordando a definição (explicação didática): um vetor não nulo \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2 é autovetor de A se existir um escalar \lambda tal que
A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.
Aqui \lambda é o autovalor associado a \mathbf{x}. Na prática, para cada vetor testamos a multiplicação A\mathbf{x} e verificamos se o resultado é proporcional a \mathbf{x}; se for, a constante de proporcionalidade é o autovalor.
Vou calcular A\mathbf{u}, A\mathbf{v} e A\mathbf{w} passo a passo (lembre que multiplicação de matriz por vetor faz produto escalar linha a coluna).
Passo 3
Calcular A\mathbf{u} com \mathbf{u}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Observe que A\mathbf{u}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}=\mathbf{u}. Portanto A\mathbf{u}=1\cdot\mathbf{u}, ou seja, \mathbf{u} é um autovetor de A com autovalor \lambda=1.
Comentário rápido (didático): quando a multiplicação retorna exatamente o mesmo vetor, a escala é \lambda=1.]
Passo 4
Calcular A\mathbf{v} com \mathbf{v}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Os quocientes não coincidem, logo não existe escalar \lambda tal que A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. Conclusão: \mathbf{v} NÃO é autovetor de A.
Didaticamente: basta que os dois componentes resultantes não tenham a mesma razão em relação aos componentes originais para concluir que não é autovetor.]
Passo 5
Calcular A\mathbf{w} com \mathbf{w}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Note que \begin{pmatrix}6\\[4pt]2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\mathbf{w}. Portanto A\mathbf{w}=2\mathbf{w}, isto é, \mathbf{w} é autovetor de A com autovalor \lambda=2.]
Passo 6
Resumo das respostas do item (a) (com justificativa já dada pelos cálculos):
\mathbf{u} é autovetor com autovalor \lambda=1, pois A\mathbf{u}=\mathbf{u}.
\mathbf{v} não é autovetor, pois A\mathbf{v}=\begin{pmatrix}28\\[4pt]11\end{pmatrix} não é proporcional a \mathbf{v}.
\mathbf{w} é autovetor com autovalor \lambda=2, pois A\mathbf{w}=2\mathbf{w}.
Agora, para diagonalizar A (item b), preciso de duas colunas linearmente independentes formadas por autovetores. Vou checar se \mathbf{u} e \mathbf{w} são linearmente independentes.]
Passo 7
Verificar independência de \mathbf{u} e \mathbf{w}. Formo a matriz cujo colunas são \mathbf{u} e \mathbf{w}:
P=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det(P)=4\cdot 1 - 3\cdot 1 = 1\neq 0.
Determinante não nulo implica que as colunas são linearmente independentes e P é invertível. Portanto é possível diagonalizar A usando \mathbf{u} e \mathbf{w} como colunas de P.
Usando a propriedade A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} aplicada às colunas, obtemos AP=P D, onde D é a diagonal com os autovalores correspondentes às colunas.]
Passo 8
Construo explicitamente P e D (item b) escolhendo a ordem das colunas como \mathbf{u},\mathbf{w}:
(a) \mathbf{u} é autovetor com autovalor \lambda=1;\quad \mathbf{v} não é autovetor;\quad \mathbf{w} é autovetor com autovalor \lambda=2.
(b) Uma diagonalização é