e faça o que se pede, considerando que seus autovalores são 3 e -3 (não é preciso verificar este fato).
(a) Descreva explicitamente cada autoespaço, ou seja, como o SEV gerado por um conjunto de vetores, e dê uma base ortogonal para cada um deles;
(b) Dê uma base ortonormal B para \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A;
(c) Dê uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tais que A Q=Q D, indicando claramente as matrizes;
Passo 1
Enunciado e dados úteis (o que a questão pede e o que foi dado).
Foi informado que os autovalores de A são \;3 e -3 (não precisa provar isso).
Pedidos:
(a) descrever explicitamente cada autoespaço (como um espaço gerado por vetores) e dar uma base ortogonal para cada autoespaço;
(b) dar uma base ortonormal B de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A;
(c) dar uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tais que A Q = Q D, indicando claramente as matrizes.
Passo 2
Definição e procedimento para encontrar autoespaços (breve e prático).
Lembrete rápido: um vetor v\neq 0 é autovetor de A com autovalor \lambda se
A v = \lambda v,
ou seja, se
(A-\lambda I)v = 0.
O conjunto de todas as soluções v dessa equação (incluindo o vetor zero) é o autoespaço correspondente a \lambda, que é um subespaço vetorial e pode ser descrito como um gerador (span) de vetores. Para encontrar uma base do autoespaço resolvemos o sistema linear (A-\lambda I)v=0.
Resolvendo (A+3I)v=0 para v=(x,y,z) obtemos o sistema
\begin{cases} 5x + y -2z = 0,\\[4pt] x +5y +2z = 0,\\[4pt] -2x +2y +2z = 0. \end{cases}
Da terceira equação segue -x + y + z =0\] ou \(y = x - z. Substituindo nas demais, obtemos z=2x e então y=-x. Logo a solução é
v = x\,(1,-1,2).
Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=-3 é
E_{-3}=\operatorname{span}\{(1,-1,2)\},
um subespaço de dimensão 1.]
Passo 6
Observação sobre ortogonalidade entre autoespaços distintos (motivação e verificação direta).
Para matrizes simétricas (como A=A^T), autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Aqui A é simétrica (pode-se ver A^T=A), então vetores de E_3 são ortogonais a vetores de E_{-3}.
Verificação direta rápida: tomar w_1=(1,1,0) e w_2=(-1,1,1) (base ortogonal de E_3) e v=(1,-1,2) (gerador de E_{-3}):
Construindo a matriz ortogonal Q e a diagonal D tais que A Q = Q D.
Se colocarmos os vetores ortonormais acima como colunas de uma matriz Q, então Q é ortogonal (Q^T Q = I) e, como são autovetores de A, vale A Q = Q D, onde D é a matriz diagonal com os autovalores correspondentes às colunas de Q.
Escolhendo a ordem das colunas de Q para corresponder à ordem dos autovalores em D, por exemplo primeiro os dois autovetores de \lambda=3 e depois o de \lambda=-3, temos
Verificação prática (modo executivo): multiplicando A por cada coluna de Q obtém-se 3 vezes as duas primeiras colunas e -3 vezes a terceira (isto foi verificado nas contas realizadas nos passos anteriores), o que garante que A Q = Q D. Observação final: como Q é ortogonal, também vale A = Q D Q^T.]
Resposta
(a) E_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,0),\,(0,2,1)\}. Uma base ortogonal de E_{3} é \{(1,1,0),\,(-1,1,1)\}.\n
(b) Uma base ortonormal B de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A é