Questão 3 [3.0 pontos] Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^{4} que tem como base
o conjunto B=\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
(a) Descreva explicitamente o subespaço complemento ortogonal W^{\perp} de W e dê uma base e a dimensão
deste subespaço;
(b) Encontre uma base ortogonal para o subespaço W a partir da base de W dada acima;
(c) Encontre o vetor \operatorname{proj}_{W}(v) para v=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado pela base
B=\left\{u_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_3=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Pede-se:
(a) descrever o complemento ortogonal W^{\perp}, dar uma base e a dimensão;
(b) obter uma base ortogonal de W a partir de B;
(c) calcular \operatorname{proj}_{W}(v) para v=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.
As informações relevantes que temos são exatamente os três vetores acima (eles geram W) e o vetor v. A partir disso vamos:
  • para (a) impor que um vetor x\in W^{\perp} é ortogonal a cada u_i e resolver o sistema;
  • para (b) aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores u_1,u_2,u_3 para obter vetores mutuamente ortogonais que geram W;
  • para (c) usar a fórmula de projeção em subespaço quando se tem uma base ortogonal: \displaystyle \operatorname{proj}_{W}(v)=\sum_{i}\frac{\langle v,\,w_i\rangle}{\langle w_i,\,w_i\rangle}w_i, onde w_i são vetores ortogonais que geram W.

Passo 2

(a) Encontrar W^{\perp} resolvendo as equações de ortogonalidade.
Se x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}\in W^{\perp} então \langle x,u_i\rangle=0 para i=1,2,3. Escrevemos essas equações explicitamente (usando o produto escalar padrão):
\langle x,u_1\rangle = x_1 - x_2 = 0,
\langle x,u_2\rangle = x_2 + x_3 = 0,
\langle x,u_3\rangle = -x_2 + 2x_3 + x_4 = 0.
Agora resolvemos passo a passo:
  • Da primeira equação obtemos x_1 = x_2.
  • Da segunda obtemos x_3 = -x_2.
  • Substituindo x_3=-x_2 na terceira:
-x_2 + 2(-x_2) + x_4 = -3x_2 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 3x_2.
Portanto todo vetor x\in W^{\perp} é da forma
x = x_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
Logo W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}\right\}. Uma base é \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}\right\} e a dimensão é \dim W^{\perp}=1.
(Comentário didático rápido: para achar o complemento ortogonal resolve-se um sistema linear formado pelos produtos escalares com os geradores de W. O conjunto solução é o espaço ortogonal.)

Passo 3

(b) Obter uma base ortogonal de W pelo processo de Gram–Schmidt.
Vou aplicar Gram–Schmidt aos vetores u_1,u_2,u_3. Lembrete da fórmula: dado u_1,u_2,\dots, define-se
w_1 = u_1, \qquad w_2 = u_2 - \frac{\langle u_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1, \qquad w_3 = u_3 - \frac{\langle u_3,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1 - \frac{\langle u_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle}w_2,
e os w_i obtidos são mutuamente ortogonais (se os u_i forem linearmente independentes).
Começando:
w_1 = u_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculemos \langle u_2,w_1\rangle e \langle w_1,w_1\rangle:
\langle u_2,w_1\rangle = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = -1, \qquad \langle w_1,w_1\rangle = 1^2+(-1)^2 = 2.
Portanto
w_2 = u_2 - \frac{-1}{2}w_1 = u_2 + \frac{1}{2}w_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Observação prática: podemos multiplicar w_2 por qualquer escalar sem perder a ortogonalidade; para evitar frações multiplico w_2 por 2 e uso
\tilde w_2 = 2w_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},
que também é ortogonal a w_1.]

Passo 4

Continuando Gram–Schmidt para obter w_3.
Calculemos as projeções necessárias (vou usar w_2 na forma não escalada w_2=\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} porque daí \langle w_2,w_2\rangle é simples):
\langle u_3,w_1\rangle = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = 1,
\langle u_3,w_2\rangle = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = -\tfrac12 + 2 = \tfrac{3}{2},
\langle w_2,w_2\rangle = \left(\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2+1^2 = \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+1 = \tfrac{3}{2}.
Assim os coeficientes ficam simples: \dfrac{\langle u_3,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}=\dfrac{1}{2} e \dfrac{\langle u_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle}=1. Então
w_3 = u_3 - \tfrac{1}{2}w_1 - 1\cdot w_2.
Calculando as componentes:
u_3 - \tfrac{1}{2}w_1 = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} - \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},
w_3 = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Verificações rápidas: \langle w_3,w_1\rangle=0 e \langle w_3,w_2\rangle=0 (confere). Então uma base ortogonal de W é, por exemplo,
\left\{\,w_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \tilde w_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\quad w_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\,\right\}.
(Explanação didática: Gram–Schmidt transforma uma base em outra base que gera o mesmo subespaço mas cujos vetores são mutuamente ortogonais; cada passo subtrai as projeções sobre os vetores já obtidos.)]

Passo 5

(c) Calcular \operatorname{proj}_{W}(v) usando a base ortogonal encontrada.
Fórmula (lembrando): se w_1,w_2,w_3 são ortogonais (não necessariamente normalizados), então
\operatorname{proj}_{W}(v)=\sum_{i=1}^{3}\frac{\langle v,w_i\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle}\,w_i.
Vou usar a versão com w_1,w_2,w_3 onde w_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} (a forma não escalada para facilitar cálculos de norma) e w_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. (Usar \tilde w_2=2w_2 também funciona, muda apenas os denominadores e numeradores de forma consistente.)
Calculemos os produtos escalares:
\langle v,w_1\rangle = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=2-1=1, \qquad \langle w_1,w_1\rangle = 2.
\langle v,w_2\rangle = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} =1+\tfrac{1}{2}+3 = \tfrac{9}{2}, \qquad \langle w_2,w_2\rangle = \tfrac{3}{2}.
\langle v,w_3\rangle = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = -2-1+3+2=2, \qquad \langle w_3,w_3\rangle = 4.
Agora cada parcela da projeção:
\frac{\langle v,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},
\frac{\langle v,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle}w_2 = \frac{\tfrac{9}{2}}{\tfrac{3}{2}}\,w_2 = 3 w_2 =3\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{3}{2}\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix},
\frac{\langle v,w_3\rangle}{\langle w_3,w_3\rangle}w_3 = \frac{2}{4}w_3 = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Somando as três parcelas:
\operatorname{proj}_{W}(v) = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{3}{2}\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{7}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Verificação rápida (consistência): v-\operatorname{proj}_{W}(v)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix} =\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}, que é múltiplo do gerador de W^{\perp} encontrado no Passo 2 — portanto a decomposição v=\operatorname{proj}_{W}(v)+\text{(componente em }W^{\perp}) está correta.]

Resposta

(a) W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}\right\}, \dim W^{\perp}=1.
(b) Uma base ortogonal de W é
\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
(c) \displaystyle \operatorname{proj}_{W}\!\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{7}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

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