Questão 3 [3.0 pontos] Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^{4} que tem como base
o conjunto B=\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
(a) Descreva explicitamente o subespaço complemento ortogonal W^{\perp} de W e dê uma base e a dimensão
deste subespaço;
(b) Encontre uma base ortogonal para o subespaço W a partir da base de W dada acima;
(c) Encontre o vetor \operatorname{proj}_{W}(v) para v=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado pela base
Pede-se:
(a) descrever o complemento ortogonal W^{\perp}, dar uma base e a dimensão;
(b) obter uma base ortogonal de W a partir de B;
(c) calcular \operatorname{proj}_{W}(v) para v=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.
As informações relevantes que temos são exatamente os três vetores acima (eles geram W) e o vetor v. A partir disso vamos:
para (a) impor que um vetor x\in W^{\perp} é ortogonal a cada u_i e resolver o sistema;
para (b) aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores u_1,u_2,u_3 para obter vetores mutuamente ortogonais que geram W;
para (c) usar a fórmula de projeção em subespaço quando se tem uma base ortogonal: \displaystyle \operatorname{proj}_{W}(v)=\sum_{i}\frac{\langle v,\,w_i\rangle}{\langle w_i,\,w_i\rangle}w_i, onde w_i são vetores ortogonais que geram W.
Passo 2
(a) Encontrar W^{\perp} resolvendo as equações de ortogonalidade.
Se x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}\in W^{\perp} então \langle x,u_i\rangle=0 para i=1,2,3. Escrevemos essas equações explicitamente (usando o produto escalar padrão):
x = x_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
Logo W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}\right\}. Uma base é \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}\right\} e a dimensão é \dim W^{\perp}=1.
(Comentário didático rápido: para achar o complemento ortogonal resolve-se um sistema linear formado pelos produtos escalares com os geradores de W. O conjunto solução é o espaço ortogonal.)
Passo 3
(b) Obter uma base ortogonal de W pelo processo de Gram–Schmidt.
Vou aplicar Gram–Schmidt aos vetores u_1,u_2,u_3. Lembrete da fórmula: dado u_1,u_2,\dots, define-se
Calculemos as projeções necessárias (vou usar w_2 na forma não escalada w_2=\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} porque daí \langle w_2,w_2\rangle é simples):
Assim os coeficientes ficam simples: \dfrac{\langle u_3,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}=\dfrac{1}{2} e \dfrac{\langle u_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle}=1. Então
(Explanação didática: Gram–Schmidt transforma uma base em outra base que gera o mesmo subespaço mas cujos vetores são mutuamente ortogonais; cada passo subtrai as projeções sobre os vetores já obtidos.)]
Passo 5
(c) Calcular \operatorname{proj}_{W}(v) usando a base ortogonal encontrada.
Fórmula (lembrando): se w_1,w_2,w_3 são ortogonais (não necessariamente normalizados), então
Vou usar a versão com w_1,w_2,w_3 onde w_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix}\tfrac12\\[2pt]\tfrac12\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} (a forma não escalada para facilitar cálculos de norma) e w_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. (Usar \tilde w_2=2w_2 também funciona, muda apenas os denominadores e numeradores de forma consistente.)
Verificação rápida (consistência): v-\operatorname{proj}_{W}(v)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}
=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}, que é múltiplo do gerador de W^{\perp} encontrado no Passo 2 — portanto a decomposição v=\operatorname{proj}_{W}(v)+\text{(componente em }W^{\perp}) está correta.]
Resposta
(a) W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}\right\}, \dim W^{\perp}=1.
(b) Uma base ortogonal de W é \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
(c) \displaystyle \operatorname{proj}_{W}\!\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{7}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]