Questāo 4 [2.5 pontos] Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^{4} que tem como base o conjunto B=\left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \mathbf{w}_{3}\right\} onde \mathbf{w}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right], \mathbf{w}_{2}=\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ -2 \\\\ -8 \\\\ 6\end{array}\right] e \mathbf{w}_{3}=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 6 \\\\ 3 \\\\ 6\end{array}\right].
(a) Encontre uma base ortogonal para o subespaço W a partir da base B dada acima;
(b) Encontre o vetor \operatorname{projw}_{W}(\mathbf{v}) para \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.
(c) Determine a distância de \mathbf{v} a W, ou seja, calcule \left\|\mathbf{v}-\operatorname{projw}_{W}(\mathbf{v})\right\|
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado pela base B=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\}, com
com projeções do mesmo tipo. Aqui \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4 (soma dos produtos componente a componente) e \|\mathbf{a}\|^2=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}.
Essa construção produz vetores \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 mutuamente ortogonais (se \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3 são linearmente independentes, como no enunciado).
Passo 3
Aplicando Gram–Schmidt: primeiro cálculos com \mathbf{u}_1=\mathbf{w}_1.
Agora \mathbf{u}_3=\mathbf{w}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_3)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{w}_3).
Primeiro \mathbf{w}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_3):
Já temos \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 e \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1=\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2=12. Vamos calcular os produtos \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_i.