Questāo 4 [2.5 pontos] Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^{4} que tem como base o conjunto B=\left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \mathbf{w}_{3}\right\} onde \mathbf{w}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right], \mathbf{w}_{2}=\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ -2 \\\\ -8 \\\\ 6\end{array}\right] e \mathbf{w}_{3}=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 6 \\\\ 3 \\\\ 6\end{array}\right].
(a) Encontre uma base ortogonal para o subespaço W a partir da base B dada acima;
(b) Encontre o vetor \operatorname{projw}_{W}(\mathbf{v}) para \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.
(c) Determine a distância de \mathbf{v} a W, ou seja, calcule \left\|\mathbf{v}-\operatorname{projw}_{W}(\mathbf{v})\right\|

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado pela base B=\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\}, com
\mathbf{w}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}_2=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-2\\[4pt]-8\\[4pt]6\end{pmatrix},\qquad \mathbf{w}_3=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]6\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
O vetor dado é
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O que nos pedem:
  • (a) Encontrar uma base ortogonal de W obtida a partir de B.
  • (b) Calcular \operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v}), a projeção de \mathbf{v} sobre W.
  • (c) Calcular a distância de \mathbf{v} a W, isto é \left\|\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v})\right\|.]

Passo 2

Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal a partir de B. Vou explicar a ideia e as fórmulas.
Ideia do Gram–Schmidt (passo a passo):
  • Começa-se com \mathbf{u}_1=\mathbf{w}_1.
  • Depois define-se
\mathbf{u}_2=\mathbf{w}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_2), \qquad\text{onde}\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_2)=\frac{\mathbf{w}_2\cdot\mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1}\,\mathbf{u}_1.
  • Em seguida
\mathbf{u}_3=\mathbf{w}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_3)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{w}_3),
com projeções do mesmo tipo. Aqui \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4 (soma dos produtos componente a componente) e \|\mathbf{a}\|^2=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}.
Essa construção produz vetores \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 mutuamente ortogonais (se \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3 são linearmente independentes, como no enunciado).

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt: primeiro cálculos com \mathbf{u}_1=\mathbf{w}_1.
Calculemos \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1:
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1 =1^2+1^2+3^2+(-1)^2 =1+1+9+1=12.
Agora \mathbf{w}_2\cdot\mathbf{u}_1:
\mathbf{w}_2\cdot\mathbf{u}_1 =(-4)\cdot1+(-2)\cdot1+(-8)\cdot3+6\cdot(-1) =-4-2-24-6=-36.
Logo a projeção de \mathbf{w}_2 sobre \mathbf{u}_1 é
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_2) =\frac{-36}{12}\,\mathbf{u}_1=-3\,\mathbf{u}_1 =-3\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-3\\[4pt]-9\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Subtraindo, obtemos \mathbf{u}_2:
\mathbf{u}_2=\mathbf{w}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_2) =\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-2\\[4pt]-8\\[4pt]6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-3\\[4pt]-9\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Verificação rápida do comprimento de \mathbf{u}_2:
\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2 =(-1)^2+1^2+1^2+3^2=1+1+1+9=12.]

Passo 4

Agora calculamos \mathbf{u}_3. Primeiro os produtos escalares necessários.
Calcule \mathbf{w}_3\cdot\mathbf{u}_1:
\mathbf{w}_3\cdot\mathbf{u}_1 =(-3)\cdot1+6\cdot1+3\cdot3+6\cdot(-1) =-3+6+9-6=6.
Portanto
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_3)=\frac{6}{12}\,\mathbf{u}_1=\frac{1}{2}\,\mathbf{u}_1 =\begin{pmatrix}1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]3/2\\[4pt]-1/2\end{pmatrix}.
Calcule \mathbf{w}_3\cdot\mathbf{u}_2:
\mathbf{w}_3\cdot\mathbf{u}_2 =(-3)\cdot(-1)+6\cdot1+3\cdot1+6\cdot3 =3+6+3+18=30.
Como \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2=12, temos
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{w}_3)=\frac{30}{12}\,\mathbf{u}_2=\frac{5}{2}\,\mathbf{u}_2 =\frac{5}{2}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5/2\\[4pt]5/2\\[4pt]5/2\\[4pt]15/2\end{pmatrix}.
Agora \mathbf{u}_3=\mathbf{w}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_3)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{w}_3).
Primeiro \mathbf{w}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{w}_3):
\begin{pmatrix}-3\\[4pt]6\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]3/2\\[4pt]-1/2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7/2\\[4pt]11/2\\[4pt]3/2\\[4pt]13/2\end{pmatrix}.
Subtraindo também \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{w}_3):
\begin{pmatrix}-7/2\\[4pt]11/2\\[4pt]3/2\\[4pt]13/2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-5/2\\[4pt]5/2\\[4pt]5/2\\[4pt]15/2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Portanto
\mathbf{u}_3=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Conferindo ortogonalidade (só para ficar seguro): calcular \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_3, \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_3.
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2=1\cdot(-1)+1\cdot1+3\cdot1+(-1)\cdot3=-1+1+3-3=0,
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_3=1\cdot(-1)+1\cdot3+3\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)=-1+3-3+1=0,
\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_3=(-1)(-1)+1\cdot3+1\cdot(-1)+3\cdot(-1)=1+3-1-3=0.
Estão de fato ortogonais. Assim uma base ortogonal de W é \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} com os vetores calculados.

Passo 6

Agora vamos calcular \operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v}). Para uma base ortogonal \{\mathbf{u}_i\} valem as fórmulas:
\operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{3}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_i}{\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_i}\,\mathbf{u}_i.
Já temos \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 e \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1=\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2=12. Vamos calcular os produtos \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_i.
Calcule \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_1=6\cdot1+3\cdot1+0\cdot3+3\cdot(-1)=6+3+0-3=6.
Contribuição de \mathbf{u}_1 na projeção:
\frac{6}{12}\mathbf{u}_1=\frac{1}{2}\mathbf{u}_1=\begin{pmatrix}1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]3/2\\[4pt]-1/2\end{pmatrix}.
Calcule \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_2=6\cdot(-1)+3\cdot1+0\cdot1+3\cdot3=-6+3+0+9=6.
Contribuição de \mathbf{u}_2 na projeção:
\frac{6}{12}\mathbf{u}_2=\frac{1}{2}\mathbf{u}_2=\begin{pmatrix}-1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]3/2\end{pmatrix}.
Calcule \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_3:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}_3=6\cdot(-1)+3\cdot3+0\cdot(-1)+3\cdot(-1)=-6+9+0-3=0.
Portanto \mathbf{u}_3 não contribui (coeficiente zero).
Somando as contribuições:
\operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v}) =\begin{pmatrix}1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]3/2\\[4pt]-1/2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]1/2\\[4pt]3/2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Finalmente, a distância de \mathbf{v} a W é a norma do componente perpendicular:
\left\|\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v})\right\| =\left\|\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\| =\left\|\begin{pmatrix}6\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\|.
Calcule o quadrado da norma:
6^2+2^2+(-2)^2+2^2=36+4+4+4=48.
Portanto a norma (distância) é
\sqrt{48}=4\sqrt{3}.]

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v})=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}
(c) \displaystyle \left\|\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{W}(\mathbf{v})\right\|=4\sqrt{3}]

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