Questão 3 [2.0 pontos] Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 3 & -1 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 3 & -2 & -6 \\\\ 1 & -2 & 4 & 1 & 8\end{array}\right] cuja forma escalonada reduzida é R=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] (você nāo precisa verificar isto) e faça o que se pede:
(a) Descreva o subespaço N u c(A) explicitamente, ou seja, como subespaço gerado por vetores;
(b) Dê uma base e a dimensão de N u c(A) (atente para distinguir claramente a base do subespaço, usando as notações corretas);
(c) Dê uma base e a dimensão do subespaço \operatorname{Col}(A);
(d) Verifique se o vetor v=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ 6\end{array}\right] pertence ou não a \operatorname{Col}(A). Justifique suas afirmações completamente, apresentando os seus raciocínios.
(e) Responda justificando: o vetor w=\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right] pertence ao subespaço complemento ortogonal \operatorname{Col}(A)^{T} de \operatorname{Col}(A) ?
Sugestão: Pense em como se obtém o subespaço complemento ortogonal de um conjunto de vetores.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 3 & -2 & -6\\[4pt] 1 & -2 & 4 & 1 & 8 \end{bmatrix}
e informa que a sua forma escalonada reduzida (RREF) é
R=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.
O que se pede:
(a) descrever \operatorname{Nul}(A) explicitamente como subespaço gerado por vetores;
(b) dar uma base e a dimensão de \operatorname{Nul}(A);
(c) dar uma base e a dimensão de \operatorname{Col}(A);
(d) verificar se v=\begin{bmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\\[2pt]6\end{bmatrix} pertence a \operatorname{Col}(A);
(e) verificar se w=\begin{bmatrix}-5\\[2pt]4\\[2pt]0\\[2pt]1\end{bmatrix} pertence ao complementar ortogonal \operatorname{Col}(A)^{\perp}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A RREF R já está fornecida (não precisamos recalculá-la).
  • A RREF mostra que as colunas com pivôs são as colunas 1,2,4 (há leading ones nessas colunas).
  • A dimensão do espaço das colunas (posto) será o número de pivôs; o número de variáveis livres será 5-\text{posto}.
  • Para checar pertinência em \operatorname{Col}(A), posso escrever vetores como combinação linear das colunas de A (ou das colunas-pivô).
  • Para checar pertencimento a \operatorname{Col}(A)^{\perp} posso verificar se o vetor é ortogonal a uma base de \operatorname{Col}(A) (ou calcular A^{T}w e verificar se é o vetor zero).]

Passo 2

Encontrar \operatorname{Nul}(A) a partir da RREF — método e explicação didática.
O que é \operatorname{Nul}(A)? É o conjunto de vetores x\in\mathbb{R}^5 tais que Ax=0. Resolver Ax=0 é o mesmo que resolver Rx=0, porque operações elementares nas linhas não mudam o espaço nulo.
A RREF R dá três equações independentes (linhas não-nulas). Escrevemos as equações correspondentes (cada linha da RREF é uma equação linear em x_1,\dots,x_5):
Linha 1 de R:
x_1 + 2x_3 + x_5 = 0.
Linha 2 de R:
x_2 - x_3 - 2x_5 = 0.
Linha 3 de R:
x_4 + 3x_5 = 0.
A quarta linha é zero e não dá equação.
Agora identifique variáveis pivô e variáveis livres:
  • Variáveis com pivô: x_1,x_2,x_4.
  • Variáveis livres: x_3,x_5.
Chamemos os parâmetros
x_3 = s,\qquad x_5 = t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Agora resolvemos para as variáveis pivô em função de s,t.
Da primeira equação:
x_1 = -2x_3 - x_5 = -2s - t.
Da segunda equação:
x_2 = x_3 + 2x_5 = s + 2t.
Da terceira equação:
x_4 = -3x_5 = -3t.
Então o vetor solução x é
x=\begin{bmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\\[2pt]x_4\\[2pt]x_5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2s - t\\[2pt] s + 2t\\[2pt] s\\[2pt] -3t\\[2pt] t \end{bmatrix}.
Agora separamos os parâmetros s e t para escrever x como combinação linear:
x = s\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{bmatrix}.
Isso mostra explicitamente o gerador do espaço nulo.]

Passo 3

Concluir itens (a) e (b) com explicações sobre base e dimensão.
(a) Subespaço nulo explicitamente:
\operatorname{Nul}(A)=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}.
Explicação extra: cada vetor gerador corresponde a escolher um parâmetro igual a 1 e o outro igual a 0; a combinação linear de ambos gera todo o conjunto de soluções.
(b) Base e dimensão de \operatorname{Nul}(A).
Uma base é o conjunto dos dois vetores independentes que aparecem na parametrização. Então podemos tomar
\mathcal{B}_{\operatorname{Nul}(A)}= \left\{ \begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{bmatrix} \right\}.
Esses vetores são linearmente independentes (são independentes porque correspondem a parâmetros independentes s,t), portanto formam uma base. A dimensão é o número de vetores da base:
\dim\big(\operatorname{Nul}(A)\big)=2.
Comentário sobre teoria: isso confirma a relação posto + nulidade = número de colunas, aqui posto =3 (veremos a seguir) e nulidade =2, total 5.]

Passo 4

Encontrar \operatorname{Col}(A), base e dimensão — explicação didática.
O que é \operatorname{Col}(A)? É o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado por as colunas de A. Uma forma prática de obter uma base para \operatorname{Col}(A) é tomar as colunas correspondentes às colunas-pivô da RREF (essas colunas da matriz original são linearmente independentes e geram a coluna-espaço).
Da RREF vimos que os pivôs estão nas colunas 1,2,4. Então uma base é formada pelas colunas 1,2,4 de A. Escrevendo-as:
c_1=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{bmatrix},\qquad c_2=\begin{bmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{bmatrix},\qquad c_4=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{bmatrix}.
Portanto uma base é
\mathcal{B}_{\operatorname{Col}(A)}=\{\,c_1,c_2,c_4\,\}.
Essas três colunas são linearmente independentes (por serem colunas-pivô) e geram \operatorname{Col}(A). Assim
\dim\big(\operatorname{Col}(A)\big)=3.]

Passo 5

Verificar se v=\begin{bmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\\[2pt]6\end{bmatrix} pertence a \operatorname{Col}(A).
Método 1 (usado aqui): tentar escrever v como combinação linear da base de \operatorname{Col}(A), ou seja, procurar escalares a,b,c tais que
a\,c_1 + b\,c_2 + c\,c_4 = v.
Escrevemos o sistema componente a componente:
Linha 1:
a + 2b + c = 2.
Linha 2:
a + 3b + c = 1.
Linha 3:
2a + b - 2c = 3.
Linha 4:
a - 2b + c = 6.
Resolvendo passo a passo:
  • Subtraindo a equação 1 da equação 2 dá b = -1.
  • Substituindo b=-1 na equação 1: a + 2(-1) + c =2 então a + c =4.
  • A equação 4 com b=-1 a -2(-1) + c =6 então a + c =4 (mesma equação, consistente).
  • A equação 3 com b=-1 2a -1 -2c =3 então 2a -2c =4, isto é a - c =2.
  • Agora resolvendo o sistema a+c=4 e a-c=2: somando as duas obtemos 2a=6 então a=3; daí c=4-a=1.
Encontramos solução a=3,\; b=-1,\; c=1. Como existe solução, v pertence a \operatorname{Col}(A). Podemos escrever explicitamente
v = 3\,c_1 -1\,c_2 + 1\,c_4.
Portanto a resposta ao item (d) é: sim, v\in\operatorname{Col}(A) (e os coeficientes são 3,-1,1 nas colunas pivô).]

Passo 6

Verificar se w=\begin{bmatrix}-5\\[2pt]4\\[2pt]0\\[2pt]1\end{bmatrix} pertence a \operatorname{Col}(A)^{\perp}.
Teoria curta e prática: o complementar ortogonal \operatorname{Col}(A)^{\perp} é o conjunto de vetores em \mathbb{R}^4 que são ortogonais a todos os vetores de \operatorname{Col}(A). É suficiente verificar ortogonalidade em uma base de \operatorname{Col}(A). Assim checamos os produtos internos w\cdot c_1,\; w\cdot c_2,\; w\cdot c_4. Se todos forem zero, w\in\operatorname{Col}(A)^{\perp}.
Calculemos:
Produto com c_1:
w\cdot c_1 = (-5)\cdot 1 + 4\cdot 1 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = -5 + 4 + 0 + 1 = 0.
Produto com c_2:
w\cdot c_2 = (-5)\cdot 2 + 4\cdot 3 + 0\cdot 1 + 1\cdot(-2) = -10 + 12 + 0 -2 = 0.
Produto com c_4:
w\cdot c_4 = (-5)\cdot 1 + 4\cdot 1 + 0\cdot(-2) + 1\cdot 1 = -5 + 4 + 0 + 1 = 0.
Todos os produtos internos são zero, logo w é ortogonal à base de \operatorname{Col}(A) e portanto a todo \operatorname{Col}(A). Em termos matriciais isso equivale a dizer A^{T}w=0, então w\in\operatorname{Nul}(A^{T})=\operatorname{Col}(A)^{\perp}.
Resposta: sim, w\in\operatorname{Col}(A)^{\perp}.]

Resposta

(a) \operatorname{Nul}(A)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}
(b) Base \mathcal{B}_{\operatorname{Nul}(A)}=\left\{\begin{bmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}. \dim(\operatorname{Nul}(A))=2.
(c) Base \mathcal{B}_{\operatorname{Col}(A)}=\left\{\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}. \dim(\operatorname{Col}(A))=3.
(d) Sim. v\in\operatorname{Col}(A) e v=3\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{bmatrix}-1\begin{bmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{bmatrix}.
(e) Sim. w\in\operatorname{Col}(A)^{\perp} (pois w é ortogonal às três vetores da base de \operatorname{Col}(A), ou equivalentemente A^{T}w=0).]

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