Questão 2 [2,0 pontos] Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o domínio da função
. O domínio é simplesmente todos os valores de
que a função está definida, ou seja, onde não rola dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
. Queremos garantir que ele não seja zero, porque não dá pra dividir por zero. Vamos ver se essa expressão pode ser igual a zero.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Se rearranjarmos, temos uma equação quadrática em termos de
:
Mas, se calcularmos o discriminante dessa equação,
, que é negativo. Isso significa que não tem solução real. Então, o denominador nunca é zero para nenhum valor real de
. Então, tá tranquilo esse lado.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador
. A raiz quadrada só tá definida quando o que está dentro é maior ou igual a zero. Ou seja:
Vamos resolver essa inequação.
Passo 5
Resolvendo
:
Sabemos que
quando
está em certos intervalos dentro do ciclo do cosseno. Especificamente, isso acontece quando:
E por aí vai, considerando todas as soluções periódicas, ou seja, adicionando múltiplos de
.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais
tais que
, ou seja: