Questão 2 [2,0 pontos] Determine o domínio da função f(x)=raiz1-2 cos xx^4+x^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o domínio da função . O domínio é simplesmente todos os valores de que a função está definida, ou seja, onde não rola dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . Queremos garantir que ele não seja zero, porque não dá pra dividir por zero. Vamos ver se essa expressão pode ser igual a zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação (x^2)^2 + x^2 + 1 = 0 . Se rearranjarmos, temos uma equação quadrática em termos de :
Mas, se calcularmos o discriminante dessa equação, , que é negativo. Isso significa que não tem solução real. Então, o denominador nunca é zero para nenhum valor real de . Então, tá tranquilo esse lado.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador 1 - 2 cos x >= 0 . A raiz quadrada só tá definida quando o que está dentro é maior ou igual a zero. Ou seja:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 5

Resolvendo 1 >= 2 cos x :
cos x <= 12
pi3 <= x <= 5pi3
Sabemos que quando está em certos intervalos dentro do ciclo do cosseno. Especificamente, isso acontece quando:
E por aí vai, considerando todas as soluções periódicas, ou seja, adicionando múltiplos de .

Resposta

O domínio da função x in cupk in Z [ pi3 + 2kpi, 5pi3 + 2kpi ] é todos os números reais tais que , ou seja:

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