Questão 5 [2,0 pontos]:
( 1,0 ponto) Considere um plano \alpha descrito pela equação \mathrm{ax}+ by + \mathrm{cz}=\mathrm{d}. Mostre que o vetor \vec{n}= ( a, b, c ) é normal ao plano \alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano \alpha descrito pela equação \,ax+by+cz=d\, e pede para mostrar que o vetor \vec{n}=(a,b,c) é normal ao plano \alpha. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é \,ax+by+cz=d\,.
  • Os coeficientes a,b,c não são todos zero (caso contrário não seria um plano).
  • A pergunta é provar que \vec{n}=(a,b,c) é ortogonal a qualquer vetor que esteja contido no plano \alpha.

Passo 2

Definimos o que significa “vetor normal” de modo simples e prático para prova de prova: um vetor é normal a um plano quando ele é perpendicular (ortogonal) a todos os vetores que ficam dentro desse plano. Para testar ortogonalidade usamos o produto escalar. Para dois vetores \,u=(u_1,u_2,u_3) e \,v=(v_1,v_2,v_3) o produto escalar é
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Se u\cdot v=0 então u é perpendicular a v. Nossa estratégia: pegar um vetor qualquer que pertença ao plano e mostrar que o produto escalar com \vec{n} é zero.

Passo 3

Escolhemos dois pontos quaisquer no plano \alpha. Seja
\,P=(x_1,y_1,z_1)\, e \,Q=(x_2,y_2,z_2)\, tais que ambos satisfazem a equação do plano. Assim:
ax_1+by_1+cz_1=d \qquad\text{e}\qquad ax_2+by_2+cz_2=d.
O vetor \overrightarrow{PQ} é um vetor que fica dentro do plano e é dado por
\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar entre \vec{n}=(a,b,c) e \overrightarrow{PQ}:
\vec{n}\cdot\overrightarrow{PQ} = a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1).
Repare que isso é exatamente a subtração dos dois valores ax+by+cz nos pontos Q e P. Usando as igualdades do Passo 3, subtraímos:
(ax_2+by_2+cz_2)-(ax_1+by_1+cz_1)=d-d=0.
Portanto
a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)=0.

Passo 5

Do cálculo do Passo 4 obtemos
\vec{n}\cdot\overrightarrow{PQ}=0.
Como P e Q foram pontos arbitrários do plano, \overrightarrow{PQ} representa um vetor qualquer contido no plano. Mostrar que o produto escalar é zero para um vetor arbitrário do plano implica que \vec{n} é perpendicular a todo vetor do plano.

Passo 6

Conclusão: \vec{n}=(a,b,c) é ortogonal a qualquer vetor do plano \alpha, ou seja, \vec{n} é um vetor normal ao plano \alpha.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome a=1,\;b=2,\;c=3,\;d=6. Dois pontos no plano são P=(0,0,2) e Q=(3,0,1) porque 1\cdot0+2\cdot0+3\cdot2=6 e 1\cdot3+2\cdot0+3\cdot1=6. Então \overrightarrow{PQ}=(3,0,-1) e
\vec{n}\cdot\overrightarrow{PQ}=(1,2,3)\cdot(3,0,-1)=1\cdot3+2\cdot0+3\cdot(-1)=0,
confirmando na prática que (1,2,3) é normal ao plano.

Resposta

\vec{n}=(a,b,c) é normal ao plano \alpha.

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