Questão 2 [ 2,0 pontos]: No dia 7 de outubro de 2025, foi observado um tornado na cidade de Rio Bonito do Iguaçu no Paraná. Uma estação meteorológica observou ventos de 200 \mathrm{~km} / \mathrm{h} na região. Assumindo que a velocidade angular deste tornado é constante e o vento foi observado a 100 metros de distância do centro do tornado, calcule:
a) ( 1,0 ponto) Qual é a velocidade radial a 50 e 150 metros do centro do tornado?
b) ( 1,0 ponto) Qual é a aceleração (em termos proporcionais à aceleração da gravidade g) que uma pessoa experimentaria se estivesse a 50,100 e 150 metros do centro do tornado?

Passo 1

O enunciado dá uma observação e pede duas coisas. Dados e perguntas (resumidos e claros):
  • Dado: velocidade observada do vento \,200\\ \mathrm{km/h}\, a uma distância de \,100\\ \mathrm{m}\, do centro do tornado.
  • Suposição: velocidade angular \omega do tornado é constante.
  • Pergunta (a): qual é a velocidade (linear) a \,50\\ \mathrm{m}\, e a \,150\\ \mathrm{m}\, do centro?
  • Pergunta (b): qual é a aceleração que uma pessoa experimentaria a \,50\\ \mathrm{m}, \,100\\ \mathrm{m} e \,150\\ \mathrm{m} do centro, expressa em múltiplos da aceleração da gravidade \,g?
Observação: o enunciado usa a palavra “velocidade radial”, mas como o tornado gira em torno do centro com velocidade angular constante, o vento tem velocidade tangencial (linear) relacionada a \omega por v=\omega r. Vou interpretar a questão pedindo a velocidade linear em função do raio.

Passo 2

Converter a velocidade observada para unidades do SI e calcular a velocidade angular \omega.
  • Conversão de \,200\\ \mathrm{km/h}\, para \mathrm{m/s}:
200\\ \mathrm{km/h} = 200\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{500}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 55,56\\ \mathrm{m/s}.
Explanação: multiplicamos por \frac{1000}{3600}=\frac{5}{18} porque \,1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m} e \,1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
  • Determinar \omega usando v=\omega r. Com v=\frac{500}{9}\\ \mathrm{m/s} em r=100\\ \mathrm{m}:
\omega = \frac{v}{r} = \frac{\frac{500}{9}}{100} = \frac{5}{9}\\ \mathrm{rad/s}\approx 0,5556\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação: \omega é a velocidade angular (em radianos por segundo) que multiplica o raio para dar a velocidade linear.

Passo 3

Calcular as velocidades lineares em r=50\\ \mathrm{m} e r=150\\ \mathrm{m} usando v=\omega r.
  • Para r=50\\ \mathrm{m}:
v_{50}=\omega\cdot 50 = \frac{5}{9}\cdot 50 = \frac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 27,78\\ \mathrm{m/s}.
Converter para \mathrm{km/h} (multiplicar por 3,6):
v_{50}\approx 27,78\cdot 3,6 = 100\\ \mathrm{km/h}.
Comentário: a velocidade é proporcional ao raio, então metade do raio dá metade da velocidade.
  • Para r=150\\ \mathrm{m}:
v_{150}=\omega\cdot 150 = \frac{5}{9}\cdot 150 = \frac{750}{9}=\frac{250}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 83,33\\ \mathrm{m/s}.
Em \mathrm{km/h}:
v_{150}\approx 83,33\cdot 3,6 = 300\\ \mathrm{km/h}.
Comentário: a 150\\ \mathrm{m} a velocidade é 3 vezes a de 50\\ \mathrm{m} (porque o raio é 3 vezes).

Passo 4

Explicar e escrever a fórmula da aceleração centrípeta (radial) para movimento circular, que é o que interessa aqui.
  • Fórmula com \omega:
a_c=\omega^2 r,
onde \,a_c\, é a aceleração centrípeta (magnitude), \,\omega\, é a velocidade angular (rad/s) e \,r\, é o raio (m).
  • Fórmula alternativa (equivalente) com velocidade linear:
a_c=\frac{v^2}{r}.
Ambas dão a mesma aceleração dirigida para o centro (radial inward). Aqui usaremos a forma \omega^2 r porque já temos \omega em forma exata \frac{5}{9}.

Passo 5

Calcular \omega^2 e as acelerações em r=50\\ \mathrm{m}, 100\\ \mathrm{m} e 150\\ \mathrm{m}. Usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} para expressar em múltiplos de g.
  • Calcular \omega^2:
\omega^2=\left(\frac{5}{9}\right)^2=\frac{25}{81}\approx 0,30864\\ \mathrm{(rad^2/s^2)}.
  • Para r=50\\ \mathrm{m}:
a_{50}=\omega^2\cdot 50 = \frac{25}{81}\cdot 50 = \frac{1250}{81}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 15,432\\ \mathrm{m/s^2}.
Em múltiplos de g:
\frac{a_{50}}{g}=\frac{15,432}{9,81}\approx 1,57\\ g.
  • Para r=100\\ \mathrm{m} (isto também serve como verificação, pois é o ponto observado):
a_{100}=\omega^2\cdot 100 = \frac{25}{81}\cdot 100 = \frac{2500}{81}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 30,864\\ \mathrm{m/s^2},
\frac{a_{100}}{g}=\frac{30,864}{9,81}\approx 3,15\\ g.
  • Para r=150\\ \mathrm{m}:
a_{150}=\omega^2\cdot 150 = \frac{25}{81}\cdot 150 = \frac{3750}{81}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 46,296\\ \mathrm{m/s^2},
\frac{a_{150}}{g}=\frac{46,296}{9,81}\approx 4,72\\ g.
Explicação intuitiva: a aceleração aumenta linearmente com o raio quando \omega é constante (porque a_c=\omega^2 r). Então quando o raio triplica de 50 para 150 m, a aceleração também triplica.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: esses valores de aceleração são muito grandes — já a 50\\ \mathrm{m} você teria cerca de 1,6 vezes o peso aparente normal; a 150\\ \mathrm{m} quase 4,7 vezes. Em termos práticos, isso é extremamente perigoso. Você está indo bem em pedir esses detalhes — esse tipo de cálculo é direto quando a relação v=\omega r fica clara.

Resposta

(a) v_{50}=\dfrac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 27,78\\ \mathrm{m/s}=100\\ \mathrm{km/h};\quad v_{150}=\dfrac{250}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 83,33\\ \mathrm{m/s}=300\\ \mathrm{km/h}.
(b) a_{50}=\dfrac{1250}{81}\ \mathrm{m/s^2}\approx 15,43\ \mathrm{m/s^2}\approx 1,57\,g;\quad a_{100}=\dfrac{2500}{81}\ \mathrm{m/s^2}\approx 30,86\ \mathrm{m/s^2}\approx 3,15\,g;\quad a_{150}=\dfrac{3750}{81}\ \mathrm{m/s^2}\approx 46,30\ \mathrm{m/s^2}\approx 4,72\,g.

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