Questão 3 [2,0 pontos]: Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido B dado por:
x^{2}+y^{2}-2 x \leq 0,0 \leq z \leq x+y, x \geq 0, y \geq 0.
Todos os cálculos precisam estar explícitos e detalhados na resolução do problema.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido B definido pelas desigualdades:
x^{2}+y^{2}-2x \leq 0,\qquad 0 \leq z \leq x+y,\qquad x\ge 0,\qquad y\ge 0.
Pergunta: qual é o volume de B (usando coordenadas cilíndricas)?\n
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
x^{2}+y^{2}-2x \le 0,
0\le z \le x+y,
x\ge 0,\quad y\ge 0.

Passo 2

Recordando as fórmulas de coordenadas cilíndricas/polares (que vamos usar para converter o volume):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
Quando fazemos a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume diferencial dV vira
dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde o fator r é o Jacobiano da transformação (ele aparece porque as fatias angulares têm comprimento proporcional a r). Sempre que eu escrever um volume em cilíndricas, vou multiplicar pela r do Jacobiano.

Passo 3

Vamos interpretar geometricamente a desigualdade no plano xy:
x^{2}+y^{2}-2x \le 0.
Completando o quadrado em x:
x^{2}-2x+y^{2} = (x-1)^{2}+y^{2}-1 \le 0
que é equivalente a
(x-1)^{2}+y^{2} \le 1.
Isto é um disco de centro (1,0) e raio 1. Além disso, temos as restrições x\ge 0 e y\ge 0, ou seja, ficamos apenas com a parte desse disco que está no primeiro quadrante.

Passo 4

Passemos para coordenadas polares/cilíndricas. Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na desigualdade do disco:
r^{2}-2r\cos\theta \le 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r-2\cos\theta)\le 0.
Como r\ge 0, isso implica
0 \le r \le 2\cos\theta,
quando 2\cos\theta\ge 0. Portanto precisamos de \cos\theta\ge 0. Além disso, pelas restrições x\ge 0 e y\ge 0 temos \cos\theta\ge 0 e \sin\theta\ge 0 simultaneamente, o que determina o intervalo angular
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Logo, para \theta\in[0,\pi/2] temos r variando de 0 até 2\cos\theta.

Passo 5

A restrição em z é
0 \le z \le x+y = r(\cos\theta+\sin\theta).
Agora escrevemos o integral triple para o volume em coordenadas cilíndricas:
V=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\cos\theta}\int_{z=0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)} r\,dz\,dr\,d\theta.
Isto reúne todas as condições: \theta de 0 a \pi/2, r de 0 a 2\cos\theta, e z entre 0 e r(\cos\theta+\sin\theta).

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em z. Como o integrando é r (o Jacobiano), temos
\int_{z=0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)} r\,dz = r\cdot \bigl[z\bigr]_{0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)} = r\cdot r(\cos\theta+\sin\theta) = r^{2}(\cos\theta+\sin\theta).

Passo 7

Agora integramos em r:
\int_{r=0}^{2\cos\theta} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr = (\cos\theta+\sin\theta)\int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr.
Calcule \int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^{3}}{3} = \frac{8\cos^{3}\theta}{3}.
Portanto a integral em r
\frac{8}{3}(\cos\theta+\sin\theta)\cos^{3}\theta.

Passo 8

Então o volume reduz-se à integral única em \theta:
V=\int_{0}^{\pi/2} \frac{8}{3}\bigl(\cos\theta+\sin\theta\bigr)\cos^{3}\theta\,d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\cos^{4}\theta + \sin\theta\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta.
Vamos calcular as duas integrais separadamente:
I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta,\qquad I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 9

Calcule I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta usando redução de potência. Primeiro usamos \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Então
\cos^{4}\theta=(\cos^{2}\theta)^{2} =\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
Aplicamos novamente \cos^{2}2\theta=\dfrac{1+\cos 4\theta}{2}:
\cos^{4}\theta=\frac{1}{4}\left(1+2\cos 2\theta+\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right) =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{8}\cos 4\theta.
Integrando de 0 a \pi/2:
I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta + \frac{1}{32}\sin 4\theta\right]_{0}^{\pi/2}.
As funções \sin 2\theta e \sin 4\theta valem zero nos limites 0 e \pi/2, então só fica
I_{1}=\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.

Passo 10

Calcule I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{3}\theta\,d\theta por substituição. Faça u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=0, u=1. Quando \theta=\pi/2, u=0. Assim
I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{3}\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{0} -u^{3}\,du = \int_{0}^{1} u^{3}\,du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.

Passo 11

Agora juntamos I_{1} e I_{2} na expressão para V:
V=\frac{8}{3}\left(I_{1}+I_{2}\right) = \frac{8}{3}\left(\frac{3\pi}{16}+\frac{1}{4}\right).
Colocando sobre denominação comum:
\frac{3\pi}{16}+\frac{1}{4}=\frac{3\pi}{16}+\frac{4}{16}=\frac{3\pi+4}{16}.
Logo
V=\frac{8}{3}\cdot\frac{3\pi+4}{16}=\frac{8(3\pi+4)}{48}=\frac{3\pi+4}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi+4}{6}

Exercícios relacionados