Questão 3 [2,0 pontos]: Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido B dado por: x^{2}+y^{2}-2 x \leq 0,0 \leq z \leq x+y, x \geq 0, y \geq 0.
Todos os cálculos precisam estar explícitos e detalhados na resolução do problema.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido B definido pelas desigualdades:
Pergunta: qual é o volume de B (usando coordenadas cilíndricas)?\n
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
x^{2}+y^{2}-2x \le 0,
0\le z \le x+y,
x\ge 0,\quad y\ge 0.
Passo 2
Recordando as fórmulas de coordenadas cilíndricas/polares (que vamos usar para converter o volume):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
Quando fazemos a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume diferencial dV vira
dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde o fator r é o Jacobiano da transformação (ele aparece porque as fatias angulares têm comprimento proporcional a r). Sempre que eu escrever um volume em cilíndricas, vou multiplicar pela r do Jacobiano.
Passo 3
Vamos interpretar geometricamente a desigualdade no plano xy:
x^{2}+y^{2}-2x \le 0.
Completando o quadrado em x:
x^{2}-2x+y^{2} = (x-1)^{2}+y^{2}-1 \le 0
que é equivalente a
(x-1)^{2}+y^{2} \le 1.
Isto é um disco de centro (1,0) e raio 1. Além disso, temos as restrições x\ge 0 e y\ge 0, ou seja, ficamos apenas com a parte desse disco que está no primeiro quadrante.
Passo 4
Passemos para coordenadas polares/cilíndricas. Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na desigualdade do disco:
quando 2\cos\theta\ge 0. Portanto precisamos de \cos\theta\ge 0. Além disso, pelas restrições x\ge 0 e y\ge 0 temos \cos\theta\ge 0 e \sin\theta\ge 0 simultaneamente, o que determina o intervalo angular
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Logo, para \theta\in[0,\pi/2] temos r variando de 0 até 2\cos\theta.
Passo 5
A restrição em z é
0 \le z \le x+y = r(\cos\theta+\sin\theta).
Agora escrevemos o integral triple para o volume em coordenadas cilíndricas:
Calcule \int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^{3}}{3} = \frac{8\cos^{3}\theta}{3}.
Portanto a integral em r dá
\frac{8}{3}(\cos\theta+\sin\theta)\cos^{3}\theta.
Passo 8
Então o volume reduz-se à integral única em \theta:
Calcule I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{3}\theta\,d\theta por substituição. Faça u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta=0, u=1. Quando \theta=\pi/2, u=0. Assim