Questão 2 [2,0 pontos] Seja a função
. Analise o comportamento de
em relação à existência, ou não, de assíntotas:
quando
tende aos infinitos positivo e negativo ( \pm \infty\ )
quando
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio informado
. A tarefa é analisar o comportamento de
em relação à existência (ou não) de assíntotas quando
tende para os infinitos positivo e negativo, isto é para
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão analítica de
(numerador e denominador). - O domínio (exclusões em
). - A pergunta foco: assíntotas em
(horizontal/oblíqua) e, implicitamente, comportamento vertical nas aberturas do domínio (já que aparecem exclusões).
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: fatorar o denominador para ver se há cancelamentos (isso nos diz se alguma dessas exclusões é um buraco removível ou uma assíntota vertical).
Fatorando o polinômio do denominador por agrupamento:
Continuando:
Portanto
Agora fatoramos o numerador:
Substituindo, a função pode ser escrita como
Como
aparece no numerador e no denominador, podemos simplificar algebraicamente (lembrando que a simplificação vale só para
, pois a definição original exclui
):
Comentário didático: esse passo de fatorar e cancelar nos mostra que a singularidade em
é potencialmente removível (um “buraco”) porque o fator se cancela; já as singularidades em
e
permanecem no denominador e, por serem raízes simples, costumam originar assíntotas verticais (veremos examinando limites laterais).
Passo 3
Determinar o comportamento em
(buraco removível). Como a expressão simplificada vale para todos
, o limite em
é simplesmente o valor da expressão simplificada naquele ponto:
Como esse limite é finito, a singularidade em
não é assíntota vertical; é um ponto de descontinuidade removível (um “buraco”) localizado em
com valor limite
.
Passo 4
Determinar assíntotas verticais em
e
avaliando limites laterais usando a expressão simplificada
Analisamos os sinais e os limites:
-
Em
: - Para
: tem-se e (negativo). Então . Assim - Para
: tem-se e (negativo), então . Assim
Conclusão: emexiste uma assíntota vertical porque os limites laterais divergem (com sinais opostos). Logo é assíntota vertical. - Para
-
Em
: - Para
: (positivo) e , logo . Então - Para
: (positivo) e , logo . Então
Conclusão: emtambém existe uma assíntota vertical (limites laterais divergentes, sinais opostos). Logo é assíntota vertical. - Para
Observação didática: raízes simples não canceladas no denominador costumam produzir divergência infinita quando o fator do denominador tende a zero; o sinal da divergência provém do sinal do produto dos fatores restantes no denominador.
Passo 5
Analisar assíntota horizontal em
. Como o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, para
o quociente tende a zero (grau do denominador maior que o do numerador implica limite zero). Formalmente:
Usando a forma simplificada também se vê com clareza:
portanto tende a
. Além disso, como a expressão assintótica é
, o valor tende a
por valores negativos (isto é, aproxima-se de
vindo de baixo): para
e para
,
. Assim existe uma assíntota horizontal comum para os dois infinitos:
.
Comentário didático: não há assíntota oblíqua porque o grau do denominador é maior que o do numerador; assíntota oblíqua pode existir somente quando grau numerador = grau denominador + 1.
Passo 6
Resumo interpretativo (como resolver esse tipo de questão na prova, passo a passo):
- Sempre tente fatorar e simplificar a função racional para detectar cancelamentos (buracos removíveis).
- Identifique as raízes do denominador após simplificação: raízes simples não canceladas dão assíntotas verticais (verifique limites laterais para saber os sinais).
- Compare graus dos polinômios numerador/denominador: se grau num < grau den → assíntota horizontal
; se grau num = grau den → horizontal razão dos coeficientes líderes; se grau num = grau den + 1 → possível assíntota oblíqua (faça divisão polinomial); se grau num > grau den + 1 → não há assíntota oblíqua simples. - Para limites laterais perto de zeros simples do denominador, determine o sinal do produto dos fatores restantes para saber se o limite é
ou .
Resposta
Assíntotas verticais:
e
.
Discontinuidade removível (buraco) em com
(não é assíntota vertical).
Assíntota horizontal em :
(a função aproxima-se de
por valores negativos, isto é
para
).
Discontinuidade removível (buraco) em
Assíntota horizontal em