Questão 2 [2,0 pontos] Seja a função f(x)=\frac{2-x}{x^{3}-x^{2}-4 x+4} \operatorname{com} D(f)=\{x \in \mathbb{R} / x \neq-2, \mathrm{x} \neq 2, x \neq 1\}. Analise o comportamento de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em relação à existência, ou não, de assíntotas:
quando x tende aos infinitos positivo e negativo ( \pm \infty\ )

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2-x}{x^{3}-x^{2}-4x+4}
com domínio informado D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2,\;x\neq 2,\;x\neq 1\}. A tarefa é analisar o comportamento de f(x) em relação à existência (ou não) de assíntotas quando x tende para os infinitos positivo e negativo, isto é para \,x\to+\infty e \,x\to-\infty.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão analítica de f(x) (numerador e denominador).
  • O domínio (exclusões em -2,\,2,\,1).
  • A pergunta foco: assíntotas em \pm\infty (horizontal/oblíqua) e, implicitamente, comportamento vertical nas aberturas do domínio (já que aparecem exclusões).

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: fatorar o denominador para ver se há cancelamentos (isso nos diz se alguma dessas exclusões é um buraco removível ou uma assíntota vertical).
Fatorando o polinômio do denominador por agrupamento:
x^{3}-x^{2}-4x+4 = x^{2}(x-1)-4(x-1) = (x^{2}-4)(x-1).
Continuando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto
x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-2)(x+2)(x-1).
Agora fatoramos o numerador:
2-x = -(x-2).
Substituindo, a função pode ser escrita como
f(x)=\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-1)}.
Como x-2 aparece no numerador e no denominador, podemos simplificar algebraicamente (lembrando que a simplificação vale só para x\neq 2, pois a definição original exclui x=2):
\text{para }x\neq 2:\qquad f(x)=-\frac{1}{(x+2)(x-1)}.
Comentário didático: esse passo de fatorar e cancelar nos mostra que a singularidade em x=2 é potencialmente removível (um “buraco”) porque o fator se cancela; já as singularidades em x=-2 e x=1 permanecem no denominador e, por serem raízes simples, costumam originar assíntotas verticais (veremos examinando limites laterais).

Passo 3

Determinar o comportamento em x=2 (buraco removível). Como a expressão simplificada vale para todos x\neq 2, o limite em x\to 2 é simplesmente o valor da expressão simplificada naquele ponto:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\left(-\frac{1}{(x+2)(x-1)}\right) = -\frac{1}{(2+2)(2-1)} = -\frac{1}{4}.
Como esse limite é finito, a singularidade em x=2 não é assíntota vertical; é um ponto de descontinuidade removível (um “buraco”) localizado em x=2 com valor limite y=-\dfrac{1}{4}.

Passo 4

Determinar assíntotas verticais em x=-2 e x=1 avaliando limites laterais usando a expressão simplificada
f(x)=-\frac{1}{(x+2)(x-1)},\qquad x\neq 2.
Analisamos os sinais e os limites:
  • Em x\to -2:
    • Para x\to -2^+: tem-se x+2\to 0^+ e x-1\to -3 (negativo). Então (x+2)(x-1)\to 0^-. Assim \lim_{x\to -2^+} f(x) = -\frac{1}{0^-} = +\infty.
    • Para x\to -2^-: tem-se x+2\to 0^- e x-1\to -3 (negativo), então (x+2)(x-1)\to 0^+. Assim \lim_{x\to -2^-} f(x) = -\frac{1}{0^+} = -\infty.
    Conclusão: em x=-2 existe uma assíntota vertical porque os limites laterais divergem (com sinais opostos). Logo x=-2 é assíntota vertical.
  • Em x\to 1:
    • Para x\to 1^-: x+2\to 3 (positivo) e x-1\to 0^-, logo (x+2)(x-1)\to 0^-. Então \lim_{x\to 1^-} f(x) = -\frac{1}{0^-}= +\infty.
    • Para x\to 1^+: x+2\to 3 (positivo) e x-1\to 0^+, logo (x+2)(x-1)\to 0^+. Então \lim_{x\to 1^+} f(x) = -\frac{1}{0^+}= -\infty.
    Conclusão: em x=1 também existe uma assíntota vertical (limites laterais divergentes, sinais opostos). Logo x=1 é assíntota vertical.
Observação didática: raízes simples não canceladas no denominador costumam produzir divergência infinita quando o fator do denominador tende a zero; o sinal da divergência provém do sinal do produto dos fatores restantes no denominador.

Passo 5

Analisar assíntota horizontal em \pm\infty. Como o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 3, para x\to\pm\infty o quociente tende a zero (grau do denominador maior que o do numerador implica limite zero). Formalmente:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2-x}{x^{3}-x^{2}-4x+4}=0.
Usando a forma simplificada também se vê com clareza:
f(x)=-\frac{1}{(x+2)(x-1)}\sim -\frac{1}{x^{2}}\quad\text{quando }|x|\to\infty,
portanto tende a 0. Além disso, como a expressão assintótica é -1/x^{2}, o valor tende a 0 por valores negativos (isto é, aproxima-se de 0 vindo de baixo): para x\to+\infty e para x\to-\infty, f(x)\to 0^{-}. Assim existe uma assíntota horizontal comum para os dois infinitos: y=0.
Comentário didático: não há assíntota oblíqua porque o grau do denominador é maior que o do numerador; assíntota oblíqua pode existir somente quando grau numerador = grau denominador + 1.

Passo 6

Resumo interpretativo (como resolver esse tipo de questão na prova, passo a passo):
  • Sempre tente fatorar e simplificar a função racional para detectar cancelamentos (buracos removíveis).
  • Identifique as raízes do denominador após simplificação: raízes simples não canceladas dão assíntotas verticais (verifique limites laterais para saber os sinais).
  • Compare graus dos polinômios numerador/denominador: se grau num < grau den → assíntota horizontal y=0; se grau num = grau den → horizontal y= razão dos coeficientes líderes; se grau num = grau den + 1 → possível assíntota oblíqua (faça divisão polinomial); se grau num > grau den + 1 → não há assíntota oblíqua simples.
  • Para limites laterais perto de zeros simples do denominador, determine o sinal do produto dos fatores restantes para saber se o limite é +\infty ou -\infty.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=1.
Discontinuidade removível (buraco) em x=2 com \displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=-\tfrac{1}{4} (não é assíntota vertical).
Assíntota horizontal em \pm\infty: y=0 (a função aproxima-se de 0 por valores negativos, isto é f(x)\to 0^{-} para x\to\pm\infty).

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