Questão 1 [2.0 pontos]: Sejam
, e seja
a função definida por:
a) Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua;
b) Determine os valores de a e b para que a função f seja diferenciável.
b) Determine os valores de a e b para que a função f seja diferenciável.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
O que é pedido:
(a) Determinar os valores de e
para que
seja contínua (em toda
).
(b) Determinar os valores de e
para que
seja diferenciável (em toda
).
(a) Determinar os valores de
(b) Determinar os valores de
Informações relevantes dadas:
- A função é definida por dois ramos: um polinômio
para e uma reta para . - O único ponto onde pode haver problema de continuidade ou de diferencial é em
(porque é onde a definição muda). Em todo ponto diferente de , cada ramo é uma função polinomial/linear e, portanto, é automaticamente contínuo e diferenciável ali.]
Passo 2
Conceito de continuidade (mini-aula): para a função
ser contínua em
precisamos que o limite à esquerda em
, o limite à direita em
e o valor
sejam todos iguais. Em símbolos:
-
significa aproximar de por valores menores que (usa-se o ramo ). -
significa aproximar de por valores maiores que (usa-se o ramo ).
Além disso,é dado pelo ramo definido em , ou seja .
Passo 3
Calcular o limite à direita
. Como o ramo para
é um polinômio, o limite quando
é simplesmente o polinômio avaliado em
:
Calcule:
Portanto
.
Passo 4
Calcular o limite à esquerda
e igualar para continuidade. Para
usamos
, logo
Para continuidade em
precisamos que a esquerda e a direita coincidam e que isso seja igual a
. Já sabemos que
(pois
pertence ao ramo
). Como a direita deu
, a condição de continuidade é
Isso é uma equação que relaciona
e
. Conclusão parcial:
é contínua em toda
exatamente quando os parâmetros
satisfazem
Passo 5
Conceito de diferenciabilidade (mini-aula):
é diferenciável em
se o limite do quociente incremental existir (o mesmo vindo da esquerda e da direita):
deve existir. Para uma função por partes, isso significa que a derivada à esquerda em
(limite com
) e a derivada à direita em
(limite com
) devem existir e ser iguais. Observação importante: diferenciabilidade implica continuidade, então qualquer par
que torne
diferenciável em
deve também satisfazer
Passo 6
Calcular as derivadas laterais em
.
Derivada à esquerda (usando
): a derivada de
é constante
para todo
. Pelo limite da definição:
Portanto a derivada à esquerda em
é
.
Derivada à direita (usando
): calcule a derivada da expressão polinomial e avalie em
. A derivada formal do polinômio é
A derivada à direita em
(que é o valor da derivada do polinômio em
) é
Alternativamente isso pode ser mostrado diretamente usando o quociente incremental com
, mas usar a regra de derivação de polinômios é mais rápido e totalmente justificado.
Para que a derivada em
exista precisamos que as duas derivadas laterais coincidam:
Passo 7
Combinar a condição de diferenciabilidade com a condição de continuidade. Já temos:
- da diferenciabilidade:
, - da continuidade:
.
Substituindo
em
:
Logo, para
ser diferenciável em
(e, portanto, em toda
) devemos ter
e
. Verificação rápida: com esses valores a continuidade equação fica satisfeita (2(-2)+7=3) e as derivadas laterais são ambas
, então a derivada existe.
Resposta
(a)
(b)