Questão 1 [2.0 pontos]: Sejam a, b \in \mathbb{R}, e seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por:
\left\{\begin{array}{c} 2 x-x^{2}+3, \text { se } x>2 \\\ a x+b, \text { se } x \leq 2 \end{array}\right.
a) Determine os valores de a e b para que a função f seja contínua;
b) Determine os valores de a e b para que a função f seja diferenciável.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x-x^{2}+3, & \text{se } x>2,\\[4pt] ax+b, & \text{se } x\le 2. \end{cases}
O que é pedido:
(a) Determinar os valores de a e b para que f seja contínua (em toda \mathbb{R}).
(b) Determinar os valores de a e b para que f seja diferenciável (em toda \mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
  • A função é definida por dois ramos: um polinômio 2x-x^{2}+3 para x>2 e uma reta ax+b para x\le 2.
  • O único ponto onde pode haver problema de continuidade ou de diferencial é em x=2 (porque é onde a definição muda). Em todo ponto diferente de 2, cada ramo é uma função polinomial/linear e, portanto, é automaticamente contínuo e diferenciável ali.]

Passo 2

Conceito de continuidade (mini-aula): para a função f ser contínua em x=2 precisamos que o limite à esquerda em 2, o limite à direita em 2 e o valor f(2) sejam todos iguais. Em símbolos:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2).
  • \lim_{x\to 2^-} f(x) significa aproximar x de 2 por valores menores que 2 (usa-se o ramo ax+b).
  • \lim_{x\to 2^+} f(x) significa aproximar x de 2 por valores maiores que 2 (usa-se o ramo 2x-x^2+3).
    Além disso, f(2) é dado pelo ramo definido em x\le 2, ou seja f(2)=a\cdot 2 + b = 2a+b.

Passo 3

Calcular o limite à direita \lim_{x\to 2^+} f(x). Como o ramo para x>2 é um polinômio, o limite quando x\to 2^+ é simplesmente o polinômio avaliado em 2:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=2\cdot 2 - 2^{2} + 3.
Calcule:
2\cdot 2 - 2^{2} + 3 = 4 - 4 + 3 = 3.
Portanto \lim_{x\to 2^+} f(x)=3.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to 2^-} f(x) e igualar para continuidade. Para x<2 usamos f(x)=ax+b, logo
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (ax+b)=a\cdot 2 + b = 2a+b.
Para continuidade em x=2 precisamos que a esquerda e a direita coincidam e que isso seja igual a f(2). Já sabemos que f(2)=2a+b (pois x=2 pertence ao ramo ax+b). Como a direita deu 3, a condição de continuidade é
2a+b = 3.
Isso é uma equação que relaciona a e b. Conclusão parcial: f é contínua em toda \mathbb{R} exatamente quando os parâmetros a,b satisfazem \;2a+b=3\;.

Passo 5

Conceito de diferenciabilidade (mini-aula): f é diferenciável em x=2 se o limite do quociente incremental existir (o mesmo vindo da esquerda e da direita):
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}
deve existir. Para uma função por partes, isso significa que a derivada à esquerda em 2 (limite com h\to 0^-) e a derivada à direita em 2 (limite com h\to 0^+) devem existir e ser iguais. Observação importante: diferenciabilidade implica continuidade, então qualquer par (a,b) que torne f diferenciável em 2 deve também satisfazer \;2a+b=3\;.

Passo 6

Calcular as derivadas laterais em x=2.
Derivada à esquerda (usando ax+b): a derivada de ax+b é constante a para todo x. Pelo limite da definição:
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{a(2+h)+b-(2a+b)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{ah}{h}=a.
Portanto a derivada à esquerda em 2 é a.
Derivada à direita (usando 2x-x^{2}+3): calcule a derivada da expressão polinomial e avalie em x=2. A derivada formal do polinômio é
\frac{d}{dx}\bigl(2x-x^{2}+3\bigr)=2-2x.
A derivada à direita em 2 (que é o valor da derivada do polinômio em 2) é
2-2\cdot 2 = 2-4 = -2.
Alternativamente isso pode ser mostrado diretamente usando o quociente incremental com h\to 0^+, mas usar a regra de derivação de polinômios é mais rápido e totalmente justificado.
Para que a derivada em 2 exista precisamos que as duas derivadas laterais coincidam:
a = -2.

Passo 7

Combinar a condição de diferenciabilidade com a condição de continuidade. Já temos:
  • da diferenciabilidade: a=-2,
  • da continuidade: 2a+b=3.
Substituindo a=-2 em 2a+b=3:
2(-2)+b=3 \quad\Rightarrow\quad -4 + b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = 7.
Logo, para f ser diferenciável em 2 (e, portanto, em toda \mathbb{R}) devemos ter a=-2 e b=7. Verificação rápida: com esses valores a continuidade equação fica satisfeita (2(-2)+7=3) e as derivadas laterais são ambas -2, então a derivada existe.

Resposta

(a) \{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid 2a+b=3\}
(b) a=-2,\\ b=7

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