Questão 2 [2,0 pontos] Seja a função
. Analise o comportamento de
em relação à existência, ou não, de assíntotas:
nas vizinhanças de
nas vizinhanças de
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
. A pergunta específica é: analisar o comportamento de
nas vizinhanças de
em relação à existência (ou não) de assíntotas.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
: . - O domínio exclui
, logo é um ponto a ser investigado (possível descontinuidade). - Não há outras informações necessárias no enunciado para começar a análise local em
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver se alguma fatorizaçao cancela com o numerador (isso define se a descontinuidade é removível ou se dá assíntota vertical).
Fatorando o polinômio do denominador:
Reescrevendo
usando essa fatoração e observando o numerador
:
Como o fator
cancela (para
) obtemos a forma simplificada válida em
:
Comentário didático breve: quando um fator do denominador é cancelado pelo numerador, a descontinuidade nesse ponto costuma ser removível (um “buraco”). Se o fator não cancela, a descontinuidade tende a produzir uma assíntota vertical (comportamento divergente
). Aqui o fator
não cancelou, portanto
é candidato a assíntota vertical.
Passo 3
Critério para assíntota vertical (explicação didática): se ao aproximar
de um ponto
o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um número não nulo, então a função tende a
ou
e diz-se que existe assíntota vertical em
. Para decidir o sinal das duas vizinhanças usa-se análise das parcelas que mudam de sinal.
Aplicando isso: na forma simplificada
o denominador se anula quando
e o numerador é constante
(não nulo). Logo aMagnitude diverge; falta só analisar os sinais à esquerda e à direita de
.
Passo 4
Análise dos limites laterais (fazendo passo a passo para usar em prova):
Escrever
com
. Então
e
. Substituindo:
Para
pequeno a dominant term é
, então
Portanto o comportamento assintótico é como
. Uma forma exata e útil para prova: calcule o limite do produto
:
Tomando
obtemos
Isto mostra que, de fato,
diverge como
quando
.
Agora os sinais (explicando passo a passo):
- Para
temos pequeno e . Então é negativo. Como há o sinal menos à frente, . Logo
- Para
temos e . Então é positivo. Assim . Logo
Passo 5
Conclusão interpretativa (modo de prova para a hora da prova): como o limite da função ao se aproximar de
pelos dois lados diverge (um lado para
e o outro para
), existe uma assíntota vertical em
. Além disso, o comportamento assintótico é
próximo de
, que pode ser útil para esboçar o gráfico ou justificar a velocidade da divergência.
Mensagem rápida de incentivo: essa é a técnica padrão — fatorar, simplificar, ver se cancelou, e então analisar limites e sinais à esquerda/direita — e resolve a maioria dos problemas sobre descontinuidades e assíntotas verticais.
Resposta
Há assíntota vertical em
.