Questão 2 [2,0 pontos] Seja a função f(x)=\frac{2-x}{x^{3}-x^{2}-4 x+4} \operatorname{com} D(f)=\{x \in \mathbb{R} / x \neq-2, \mathrm{x} \neq 2, x \neq 1\}. Analise o comportamento de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em relação à existência, ou não, de assíntotas:
nas vizinhanças de x=-2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{2-x}{x^{3}-x^{2}-4x+4} com domínio D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2,\; x\neq 2,\; x\neq 1\}. A pergunta específica é: analisar o comportamento de f(x) nas vizinhanças de x=-2 em relação à existência (ou não) de assíntotas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x): f(x)=\dfrac{2-x}{x^{3}-x^{2}-4x+4}.
  • O domínio exclui x=-2, logo x=-2 é um ponto a ser investigado (possível descontinuidade).
  • Não há outras informações necessárias no enunciado para começar a análise local em x=-2.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver se alguma fatorizaçao cancela com o numerador (isso define se a descontinuidade é removível ou se dá assíntota vertical).
Fatorando o polinômio do denominador:
x^{3}-x^{2}-4x+4 = (x^{2}-4)(x-1) = (x-2)(x+2)(x-1).
Reescrevendo f(x) usando essa fatoração e observando o numerador 2-x=-(x-2):
f(x)=\frac{2-x}{(x-2)(x+2)(x-1)} = \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-1)}.
Como o fator (x-2) cancela (para x\neq 2) obtemos a forma simplificada válida em D(f)\setminus\{2\}:
f(x) = -\frac{1}{(x+2)(x-1)}.
Comentário didático breve: quando um fator do denominador é cancelado pelo numerador, a descontinuidade nesse ponto costuma ser removível (um “buraco”). Se o fator não cancela, a descontinuidade tende a produzir uma assíntota vertical (comportamento divergente \pm\infty). Aqui o fator (x+2) não cancelou, portanto x=-2 é candidato a assíntota vertical.

Passo 3

Critério para assíntota vertical (explicação didática): se ao aproximar x de um ponto a o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um número não nulo, então a função tende a +\infty ou -\infty e diz-se que existe assíntota vertical em x=a. Para decidir o sinal das duas vizinhanças usa-se análise das parcelas que mudam de sinal.
Aplicando isso: na forma simplificada
f(x) = -\frac{1}{(x+2)(x-1)},
o denominador se anula quando x=-2 e o numerador é constante -1 (não nulo). Logo aMagnitude diverge; falta só analisar os sinais à esquerda e à direita de -2.

Passo 4

Análise dos limites laterais (fazendo passo a passo para usar em prova):
Escrever x=-2+h com h\to 0. Então x+2=h e x-1=-3+h. Substituindo:
f(x) = -\frac{1}{(x+2)(x-1)} = -\frac{1}{h(-3+h)}.
Para h pequeno a dominant term é h(-3), então
f(x)\approx -\frac{1}{-3h} = \frac{1}{3h}.
Portanto o comportamento assintótico é como \dfrac{1}{3(x+2)}. Uma forma exata e útil para prova: calcule o limite do produto (x+2)f(x):
(x+2)f(x) = (x+2)\left(-\frac{1}{(x+2)(x-1)}\right) = -\frac{1}{x-1}.
Tomando x\to -2 obtemos
\lim_{x\to -2}(x+2)f(x) = -\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}.
Isto mostra que, de fato, f(x) diverge como \dfrac{1}{3(x+2)} quando x\to-2.
Agora os sinais (explicando passo a passo):
  • Para x\to -2^{+} temos x+2>0 pequeno e x-1\approx -3<0. Então (x+2)(x-1) é negativo. Como há o sinal menos à frente, f(x)=-1/(\text{negativo})>0. Logo
\lim_{x\to -2^{+}} f(x) = +\infty.
  • Para x\to -2^{-} temos x+2<0 e x-1\approx -3<0. Então (x+2)(x-1) é positivo. Assim f(x)=-1/(\text{positivo})<0. Logo
\lim_{x\to -2^{-}} f(x) = -\infty.

Passo 5

Conclusão interpretativa (modo de prova para a hora da prova): como o limite da função ao se aproximar de x=-2 pelos dois lados diverge (um lado para +\infty e o outro para -\infty), existe uma assíntota vertical em x=-2. Além disso, o comportamento assintótico é f(x)\sim\dfrac{1}{3(x+2)} próximo de -2, que pode ser útil para esboçar o gráfico ou justificar a velocidade da divergência.
Mensagem rápida de incentivo: essa é a técnica padrão — fatorar, simplificar, ver se cancelou, e então analisar limites e sinais à esquerda/direita — e resolve a maioria dos problemas sobre descontinuidades e assíntotas verticais.

Resposta

Há assíntota vertical em x=-2.
\displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x) = +\infty

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