Questão 2 [2.5 pontos] Seja A=\left[\begin{array}{ll}8 & -7 \\\\ 6 & -5\end{array}\right]. Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que A=P D P^{-1}. Aplicando esta igualdade, encontre uma fórmula fechada para A^{k} para k inteiro. Indique claramente os seus raciocínios.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}8 & -7\\[4pt]6 & -5\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que \,A=PDP^{-1}\,;
usando essa decomposição, obter uma fórmula fechada para \,A^{k}\, para k inteiro.
Informações relevantes dadas:
a matriz A é 2\times2 e com entradas inteiras;
não há mais restrições explícitas (podemos tentar diagonalizar por autovalores/autovetores).]
Passo 2
Vamos calcular os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Recordando: para uma matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Agora resolvemos \lambda^{2}-3\lambda+2=0. Essa quadrática fatora:
\lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-2)(\lambda-1),
logo os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=1.
Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável (para matrizes reais 2\times2 autovalores distintos garantem existência de duas direções próprias linearmente independentes).]
Passo 3
Agora encontramos autovetores (vetores próprios) solucionando (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
As duas linhas são iguais, então basta resolver 6x-7y=0\Rightarrow 6x=7y\Rightarrow y=\dfrac{6}{7}x.
Escolho um vetor com coordenadas inteiras: se x=7 então y=6. Assim um autovetor associado a \lambda_{1}=2 é
v_{1}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]6\end{pmatrix}.
(Nota: qualquer múltiplo não nulo de v_{1} serve.)
As linhas são múltiplas; resolvendo 7x-7y=0\Rightarrow x=y. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (claramente), então formam uma base de autovetores.]
Passo 4
Formamos P com colunas sendo os autovetores na mesma ordem dos autovalores que colocaremos na diagonal de D. Escolho a ordem \lambda_{1}=2 primeiro, \lambda_{2}=1 segundo. Assim
Também podemos verificar que A P = P D, isto é, A v_{1}=2 v_{1} e A v_{2}=1 v_{2}, o que garante que A=PDP^{-1}.]
Passo 5
Explico por que isso resolve o problema das potências: se \,A=PDP^{-1}\, então, aplicando potência k (inteiro não-negativo; vale também para inteiros negativos se A for invertível — aqui A é invertível porque autovalores não incluem 0), temos
A^{k}=PD^{k}P^{-1}.
Para uma matriz diagonal D=\operatorname{diag}(d_{1},d_{2}), a potência é imediata: