Questão 2 [2.5 pontos] Seja A=\left[\begin{array}{ll}8 & -7 \\\\ 6 & -5\end{array}\right]. Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que A=P D P^{-1}. Aplicando esta igualdade, encontre uma fórmula fechada para A^{k} para k inteiro. Indique claramente os seus raciocínios.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}8 & -7\\[4pt]6 & -5\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que \,A=PDP^{-1}\,;
  • usando essa decomposição, obter uma fórmula fechada para \,A^{k}\, para k inteiro.
Informações relevantes dadas:
  • a matriz A é 2\times2 e com entradas inteiras;
  • não há mais restrições explícitas (podemos tentar diagonalizar por autovalores/autovetores).]

Passo 2

Vamos calcular os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Recordando: para uma matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Aplicando a A,
\det(A-\lambda I)=(8-\lambda)(-5-\lambda)-(-7)\cdot6.
Calcule passo a passo:
(8-\lambda)(-5-\lambda) = \lambda^{2}-3\lambda-40,
e como -(-7)\cdot6=+42, obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-3\lambda-40+42=\lambda^{2}-3\lambda+2.
Agora resolvemos \lambda^{2}-3\lambda+2=0. Essa quadrática fatora:
\lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-2)(\lambda-1),
logo os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=1.
Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável (para matrizes reais 2\times2 autovalores distintos garantem existência de duas direções próprias linearmente independentes).]

Passo 3

Agora encontramos autovetores (vetores próprios) solucionando (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Para \lambda_{1}=2:
A-2I=\begin{pmatrix}8-2 & -7\\[4pt]6 & -5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & -7\\[4pt]6 & -7\end{pmatrix}.
As duas linhas são iguais, então basta resolver 6x-7y=0\Rightarrow 6x=7y\Rightarrow y=\dfrac{6}{7}x.
Escolho um vetor com coordenadas inteiras: se x=7 então y=6. Assim um autovetor associado a \lambda_{1}=2 é
v_{1}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]6\end{pmatrix}.
(Nota: qualquer múltiplo não nulo de v_{1} serve.)
Para \lambda_{2}=1:
A-1I=\begin{pmatrix}8-1 & -7\\[4pt]6 & -5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & -7\\[4pt]6 & -6\end{pmatrix}.
As linhas são múltiplas; resolvendo 7x-7y=0\Rightarrow x=y. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (claramente), então formam uma base de autovetores.]

Passo 4

Formamos P com colunas sendo os autovetores na mesma ordem dos autovalores que colocaremos na diagonal de D. Escolho a ordem \lambda_{1}=2 primeiro, \lambda_{2}=1 segundo. Assim
P=\begin{pmatrix}7 & 1\\[4pt]6 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Vamos calcular P^{-1}. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
desde que ad-bc\neq0.
Aqui o determinante é
\det(P)=7\cdot1-1\cdot6=7-6=1.
Como o determinante é 1, a inversa é simplesmente
P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-6 & 7\end{pmatrix}.
Também podemos verificar que A P = P D, isto é, A v_{1}=2 v_{1} e A v_{2}=1 v_{2}, o que garante que A=PDP^{-1}.]

Passo 5

Explico por que isso resolve o problema das potências: se \,A=PDP^{-1}\, então, aplicando potência k (inteiro não-negativo; vale também para inteiros negativos se A for invertível — aqui A é invertível porque autovalores não incluem 0), temos
A^{k}=PD^{k}P^{-1}.
Para uma matriz diagonal D=\operatorname{diag}(d_{1},d_{2}), a potência é imediata:
D^{k}=\operatorname{diag}(d_{1}^{\,k},d_{2}^{\,k}).
No nosso caso d_{1}=2 e d_{2}=1, portanto
D^{k}=\begin{pmatrix}2^{k} & 0\\[4pt]0 & 1^{k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{k} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Vamos calcular explicitamente A^{k}=P D^{k} P^{-1}. Primeiro
P D^{k}=\begin{pmatrix}7 & 1\\[4pt]6 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^{k} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\cdot2^{k} & 1\\[4pt]6\cdot2^{k} & 1\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-6 & 7\end{pmatrix}:
A^{k}=\begin{pmatrix}7\cdot2^{k} & 1\\[4pt]6\cdot2^{k} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-6 & 7\end{pmatrix}.
Multiplicando (fazendo produto de matrizes linha×coluna) obtemos as entradas:
  • posição (1,1):
7\cdot2^{k}\cdot1 + 1\cdot(-6)=7\cdot2^{k}-6.
  • posição (1,2):
7\cdot2^{k}\cdot(-1) + 1\cdot7 = -7\cdot2^{k}+7 = 7(1-2^{k}).
  • posição (2,1):
6\cdot2^{k}\cdot1 + 1\cdot(-6)=6\cdot2^{k}-6 = 6(2^{k}-1).
  • posição (2,2):
6\cdot2^{k}\cdot(-1) + 1\cdot7 = -6\cdot2^{k}+7 = 7-6\cdot2^{k}.
Portanto a fórmula fechada é
A^{k}=\begin{pmatrix}7\cdot2^{k}-6 & 7(1-2^{k})\\[6pt]6(2^{k}-1) & 7-6\cdot2^{k}\end{pmatrix}.
Checagem rápida (sanidade): para k=0 temos 2^{0}=1 e a matriz torna-se \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I; para k=1 obtemos \begin{pmatrix}8 & -7\\[4pt]6 & -5\end{pmatrix}=A. Tudo consistente.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}7 & 1\\[4pt]6 & 1\end{pmatrix}
D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
A^{k}=\begin{pmatrix}7\cdot2^{k}-6 & 7(1-2^{k})\\[6pt]6(2^{k}-1) & 7-6\cdot2^{k}\end{pmatrix}]

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