\left[\begin{array}{rr} -3 & -6 \\\\ 3 & 6 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 2^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0\end{array}\right]
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado nos dá a existência de uma matriz invertível P tal que
\left[\begin{array}{rr} -3 & -6 \\\\ 3 & 6 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & b \end{array}\right]P^{-1}\quad\text{com}\quad a<b.
Pergunta: a 2ª coluna de P é múltipla de qual dos vetores abaixo?
(A) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0\end{array}\right]
existe P inversível e a<b. A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): se
A = P D P^{-1}\quad\text{com}\quad D=\left[\begin{array}{cc}d_1 & 0\\[4pt]0 & d_2\end{array}\right]
e P=[p_1\\ p_2] (colunas p_1,p_2), então multiplicando à direita por P obtemos
A P = P D.
Isso implica, coluna a coluna, que
A p_1 = d_1 p_1,\qquad A p_2 = d_2 p_2.
Ou seja: as colunas de P são autovetores de A correspondentes às entradas diagonais de D. Portanto, a 2ª coluna de P é um autovetor associado a b. Como o enunciado diz a<b, a 2ª coluna corresponde ao autovalor maior b.]
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de A. O polinômio característico é dado por \det(A-\lambda I)=0. Calcule:
Observação rápida (opcional, para verificação): o autovetor associado a \lambda=0 satisfaz A v=0, o que dá -3x-6y=0\Rightarrow x=-2y, logo autovetor \left[\begin{smallmatrix}-2\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right], que é múltiplo de \left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right]. Isso confirma que os dois autvetores são independentes, compatível com A diagonalizável.]
Passo 5
Conclusão: como a 2ª coluna de P deve ser um autovetor associado a b=3, ela é múltipla de