e faça o que se pede, considerando que seus autovalores são 7 e -2 (não é preciso verificar este fato).
(a) Descreva explicitamente cada autoespaço, ou seja, como o SEV gerado por um conjunto de vetores, e dê uma base ortogonal para cada um deles;
(b) Dê uma base ortonormal B para \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A;
(c) Dê uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tais que A Q=Q D, indicando claramente as matrizes;
e informa que os autovalores de A são 7 e -2 (não preciso verificar isso). As tarefas são:
(a) descrever explicitamente cada autoespaço (como um SEV gerado por vetores) e fornecer uma base ortogonal para cada um deles;
(b) dar uma base ortonormal B de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A;
(c) dar uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D tal que A Q = Q D, mostrando claramente as matrizes.
Informações úteis que vou usar (tiradas do próprio enunciado): o conjunto de autovalores é \{7,-2\}. Como \operatorname{tr}(A)=1+1+1=3, e a soma dos autovalores com suas multiplicidades deve ser 3, concluo que o autovalor 7 tem multiplicidade algébrica 1 e o autovalor -2 tem multiplicidade algébrica 2. Portanto espero um autoespaço de dimensão 1 para 7 e dimensão 2 para -2.]
Passo 2
Encontrar os autovetores associados a [\lambda=7).
Resolvo: da primeira equação y=z-2x\]. Substituindo na terceira:
\[x-(z-2x)-2z=0 \implies 3x-3z=0 \implies x=z.\]
Então \(y=z-2x=z-2z=-z. Tomando z=1 obtenho um autovetor não nulo
Como é um espaço unidimensional, uma base ortogonal para E_{7} é simplesmente \{(1,-1,1)^{T}\}.
(Dica didática rápida sobre autovetores: para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0. As soluções formam o autoespaço. A multiplicidade algébrica indica quantas raízes no polinômio característico, e a dimensão do autoespaço é a multiplicidade geométrica; no caso aqui a geometria bate com a álgebra: dimensão 1 para 7 e 2 para -2.)]
Agora checo que esses dois vetores são ortogonais ao autovetor de \lambda=7 (isso sempre ocorre quando autovalores distintos têm autoespaços ortogonais para matrizes simétricas; e A é simétrica):
Esse conjunto é ortonormal e cada vetor é autovetor de A (o primeiro com autovalor 7, os outros dois com autovalor -2).]
Passo 6
Construir Q e D e verificar a relação A Q = Q D.
Escolho a ordem das colunas de Q conforme a base ortonormal B que encontrei: primeira coluna o autovetor de \lambda=7, segunda e terceira colunas os autovetores de \lambda=-2. Assim
Para verificar a igualdade A Q = Q D basta checar coluna a coluna: cada coluna q_i de Q é um autovetor e portanto A q_i = \lambda_i q_i; agrupando por colunas obtemos A Q = Q D. (Se preferir a verificação por vetores inteiros: já mostramos que A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=7\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix} e A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}, A\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}. Assim a relação matricial segue imediatamente.)
Resumo final: Q é ortogonal (colunas ortonormais) e diagonaliza A por conjugação: Q^{T} A Q = D e equivalentemente A Q = Q D.]
Resposta
(a) E_{7}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}, base ortogonal \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.\newline
\displaystyle E_{-2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}, base ortogonal (após Gram–Schmidt) \displaystyle\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.\newline
(b) Uma base ortonormal B formada por autovetores é\newline
\displaystyle B=\left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.\newline
(c) Uma matriz ortogonal Q que diagonaliza A e a diagonal D correspondente são\newline \displaystyle Q=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} \\[8pt]
-\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\[8pt]
\dfrac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \dfrac{2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix},\qquad
D=\begin{pmatrix}7&0&0\\[4pt]0&-2&0\\[4pt]0&0&-2\end{pmatrix},
satisfeitas A Q = Q D.]