Questão 3 [3.0 pontos] Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^{4} que tem como base o conjunto B=\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
(a) Descreva explicitamente o subespaço complemento ortogonal W^{\perp} de W e dê uma base e a dimensão deste subespaço;
(b) Encontre uma base ortogonal para o subespaço W a partir da base de W dada acima;
(c) Encontre o vetor \operatorname{projw}_{W}(v) para v=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 cuja base é
Pede-se:
(a) descrever explicitamente o complemento ortogonal W^{\perp}, dar uma base e a dimensão de W^{\perp};
(b) encontrar uma base ortogonal de W obtida a partir de B;
(c) calcular \operatorname{proj}_{W}(v) para v=\begin{bmatrix}3\\\ 2\\\ 4\\\ 1\end{bmatrix}.
Vou usar só as informações acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Definição e sistema linear para W^{\perp}.\n
Um vetor x=\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^4 pertence a W^{\perp} se e somente se for ortogonal a todos os vetores da base B. Isso significa que
x = x_3\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}.
Portanto W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}\right\} e \dim W^{\perp}=1. A base pode ser \left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}\right\}.
Passo 4
(b) Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.\n
Vou aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B=\{b_1,b_2,b_3\}. A ideia do método: construo vetores u_1,u_2,u_3 tais que cada u_k esteja em \operatorname{span}\{b_1,\dots,b_k\} e u_i\cdot u_j=0 para i\neq j. A fórmula explícita é, para o passo k,
onde cada par u_i\cdot u_j=0 para i\neq j. Observação: os vetores não estão normalizados; isso não é exigido — pediram base ortogonal, não ortonormal.
Passo 8
(c) Fórmula da projeção ortogonal usando base ortogonal e cálculo.\n
Se \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortogonal de W (com u_i\neq0), a projeção ortogonal de um vetor v sobre W é
(c) Verificação rápida da decomposição ortogonal.\n
Se escrever v=\operatorname{proj}_W(v)+w^{\perp}, então w^{\perp}=v-\operatorname{proj}_W(v)=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}, que é múltiplo do gerador de W^{\perp} encontrado no Passo 3. Isso confirma que a projeção está correta: v-\operatorname{proj}_W(v)\in W^{\perp}.