Questão 3 [3.0 pontos] Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^{4} que tem como base o conjunto B=\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
(a) Descreva explicitamente o subespaço complemento ortogonal W^{\perp} de W e dê uma base e a dimensão deste subespaço;
(b) Encontre uma base ortogonal para o subespaço W a partir da base de W dada acima;
(c) Encontre o vetor \operatorname{projw}_{W}(v) para v=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 cuja base é
B=\left\{\;b_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix},\quad b_2=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix},\quad b_3=\begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}\;\right\}.
Pede-se:
(a) descrever explicitamente o complemento ortogonal W^{\perp}, dar uma base e a dimensão de W^{\perp};
(b) encontrar uma base ortogonal de W obtida a partir de B;
(c) calcular \operatorname{proj}_{W}(v) para v=\begin{bmatrix}3\\\ 2\\\ 4\\\ 1\end{bmatrix}.
Vou usar só as informações acima; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(a) Definição e sistema linear para W^{\perp}.\n
Um vetor x=\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^4 pertence a W^{\perp} se e somente se for ortogonal a todos os vetores da base B. Isso significa que
x\cdot b_1=0,\qquad x\cdot b_2=0,\qquad x\cdot b_3=0,
onde o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4 é \displaystyle x\cdot y=\sum_{i=1}^{4} x_i y_i. Vou escrever essas três equações explicitamente.

Passo 3

(a) Escrever e resolver as equações de ortogonalidade.\n
Calculemos cada produto escalar:
x\cdot b_1 = x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)x_3 + 0\cdot x_4 = x_1 - x_3 = 0,
x\cdot b_2 = 0\cdot x_1 + x_2 + (-1)x_3 + 0\cdot x_4 = x_2 - x_3 = 0,
x\cdot b_3 = 0\cdot x_1 + 2x_2 + 1\cdot x_3 + (-1)x_4 = 2x_2 + x_3 - x_4 = 0.
Das duas primeiras equações obtemos
x_1 = x_3,\qquad x_2 = x_3.
Substituindo essas em 2x_2 + x_3 - x_4 = 0
2x_3 + x_3 - x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x_3 - x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 3x_3.
Logo qualquer vetor x\in W^{\perp} tem a forma
x = x_3\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}.
Portanto W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}\right\} e \dim W^{\perp}=1. A base pode ser \left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}\right\}.

Passo 4

(b) Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.\n
Vou aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B=\{b_1,b_2,b_3\}. A ideia do método: construo vetores u_1,u_2,u_3 tais que cada u_k esteja em \operatorname{span}\{b_1,\dots,b_k\} e u_i\cdot u_j=0 para i\neq j. A fórmula explícita é, para o passo k,
u_k = b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{b_k\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}\,u_i.
Vou calcular passo a passo.

Passo 5

(b) Cálculo de u_1 e u_2.\n
Escolho u_1=b_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix}.\n
Agora calculo u_2 = b_2 - \dfrac{b_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1.
Calculemos os produtos:
b_2\cdot u_1 = \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix} =0\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)(-1) + 0\cdot0 = 1,
u_1\cdot u_1 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2.
Logo
\frac{b_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1} = \frac{1}{2},
u_2 = b_2 - \frac{1}{2}u_1 = \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Para evitar frações podemos multiplicar u_2 por 2 (isto não quebra a ortogonalidade). Defino então
u_2' = 2u_2 = \begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{bmatrix},
que satisfaz u_1\cdot u_2'=0. Vou usar u_2' como segundo vetor ortogonal.]

Passo 6

(b) Cálculo de u_3.\n
Agora projeto b_3 sobre u_1 e u_2' e subtraio:
\text{proj}_{u_1}(b_3)=\frac{b_3\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1,\qquad \text{proj}_{u_2'}(b_3)=\frac{b_3\cdot u_2'}{u_2'\cdot u_2'}\,u_2'.
Calculemos os produtos necessários. Primeiro com u_1:
b_3\cdot u_1 = \begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix} =0\cdot1 + 2\cdot0 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = -1,
u_1\cdot u_1 = 2 \quad(\text{já calculado}).á
Portanto \text{proj}_{u_1}(b_3)=(-\tfrac{1}{2})u_1=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Agora com u_2':
b_3\cdot u_2' = \begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix} =0\cdot(-1)+2\cdot2 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = 4-1=3,
u_2'\cdot u_2' = (-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 + 0^2 = 6.
Então \text{proj}_{u_2'}(b_3)=\dfrac{3}{6}u_2'=\dfrac{1}{2}u_2'=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Somando as duas projeções:
\text{proj}_{u_1}(b_3)+\text{proj}_{u_2'}(b_3) = \begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Logo
u_3 = b_3 - \big(\text{proj}_{u_1}(b_3)+\text{proj}_{u_2'}(b_3)\big) = \begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}.
Verifiquei que u_3 é não-nulo e ortogonal a u_1 e u_2'.]

Passo 7

(b) Conclusão sobre a base ortogonal de W.\n
Assim uma base ortogonal de W é
\left\{\,u_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}\,\right\},
onde cada par u_i\cdot u_j=0 para i\neq j. Observação: os vetores não estão normalizados; isso não é exigido — pediram base ortogonal, não ortonormal.

Passo 8

(c) Fórmula da projeção ortogonal usando base ortogonal e cálculo.\n
Se \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortogonal de W (com u_i\neq0), a projeção ortogonal de um vetor v sobre W é
\operatorname{proj}_W(v)=\sum_{i=1}^{3}\frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}\,u_i.
Aqui vou usar u_1,u_2,u_3 obtidos acima (note que chamei u_2 o vetor já escalado [-1,2,-1,0]^T).

Passo 9

(c) Cálculo dos coeficientes e soma.\n
Calculemos cada produto:
  1. Para u_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix}:
v\cdot u_1 = \begin{bmatrix}3\\\ 2\\\ 4\\\ 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix} = 3-4 = -1,
u_1\cdot u_1 = 2.
Termo correspondente: \dfrac{-1}{2}u_1 = \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
  1. Para u_2=\begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix}:
v\cdot u_2 = 3(-1) + 2\cdot2 + 4(-1) + 1\cdot0 = -3+4-4 = -3,
u_2\cdot u_2 = 6.
Termo correspondente: \dfrac{-3}{6}u_2 = -\tfrac{1}{2}u_2 = \begin{bmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-1\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
  1. Para u_3=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}:
v\cdot u_3 = 3+2+4-1 = 8,
u_3\cdot u_3 = 1^2+1^2+1^2+(-1)^2 = 4.
Termo correspondente: \dfrac{8}{4}u_3 = 2u_3 = \begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\\\ -2\end{bmatrix}.
Somando os três termos:
\operatorname{proj}_W(v) = \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\\ 0\\tfrac{1}{2}\\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\tfrac{1}{2}\\\ -1\\tfrac{1}{2}\\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\\\ -2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ -2\end{bmatrix}.]

Passo 10

(c) Verificação rápida da decomposição ortogonal.\n
Se escrever v=\operatorname{proj}_W(v)+w^{\perp}, então w^{\perp}=v-\operatorname{proj}_W(v)=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}, que é múltiplo do gerador de W^{\perp} encontrado no Passo 3. Isso confirma que a projeção está correta: v-\operatorname{proj}_W(v)\in W^{\perp}.

Resposta

(a) W^{\perp}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}\right\}. Base: \left\{\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 3\end{bmatrix}\right\}. \dim W^{\perp}=1
(b) Uma base ortogonal de W é
\left\{\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}\right\}.
(c) \operatorname{proj}_{W}(v)=\begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 3\\\ -2\end{bmatrix}

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