Questão 6 [2,0 pontos] Seja u a função vetorial que descreve o fluxo de um escoamento dada por u=rho(x, y, z) v onde rho é a densidade em cada ponto do fluido e v=nabla f é o vetor velocidade em cada ponto. Se temos rho(x, y, z)=x^2-y^2 e f(x, y, z)=x y z+2 x y, determine se este escoamento é incompressível.

Passo 1

O enunciado define vec u=rho(x,y,z),vec v com rho(x,y,z)=x^2-y^2 e vec v=nabla f, onde f(x,y,z)=xyz+2xy. Queremos verificar se o escoamento é incompressível, isto é, se
nablacdotvec u=0

Passo 2

Calcular nabla f. As derivadas parciais são
partial fpartial x=yz+2y, partial fpartial y=xz+2x, partial fpartial z=xy,
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nabla f=(yz+2y,;xz+2x,;xy)

Passo 3

Formar vec u=rho,nabla f. Assim
vec u=(x^2-y^2),(yz+2y,;xz+2x,;xy)
Chamando as componentes de u1,u2,u3, temos
u1=(x^2-y^2),y(z+2), u2=(x^2-y^2),x(z+2), u3=(x^2-y^2),x,y

Passo 4

Calcular a divergência:
nablacdotvec u =partial u1partial x +partial u2partial y +partial u3partial z
Computando cada termo,
partial u1partial x =2x,y(z+2), partial u2partial y =-2y,x(z+2), partial u3partial z=0
Portanto
nablacdotvec u =2xy(z+2)-2xy(z+2)+0=0

Passo 5

Como nablacdotvec u=0 em todo o domínio, o escoamento é incompressível.

Resposta

O escoamento é incompressível, pois nablacdotvec u=0.

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