Questão 3. [2 pts] Considere os vetores
e
.
a) Qual a projeção escalar do vetor
no vetor
?
b) Qual o menor ângulo entre os vetores
e
?
c) Encontre a direção/sentido dos vetores
e
.
d) Normalize os vetores
e
.
a) Qual a projeção escalar do vetor
b) Qual o menor ângulo entre os vetores
c) Encontre a direção/sentido dos vetores
d) Normalize os vetores
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores
e pede quatro coisas:
a) a projeção escalar de sobre
;
b) o menor ângulo entre e
;
c) a direção e o sentido dos vetores e
;
d) normalizar os vetores e
.
a) a projeção escalar de
b) o menor ângulo entre
c) a direção e o sentido dos vetores
d) normalizar os vetores
Dados relevantes anotados: as componentes de
e
(mostradas acima). A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos úteis (passo-a-passo, sem pular nada):
- Produto escalar (dot product): para dois vetores no plano
e , o produto escalar é
Aqui
são as componentes na direção
e
as componentes na direção
.
- Norma (magnitude) de um vetor: para
,
Isto dá o comprimento do vetor.
- Projeção escalar de
sobre : é o comprimento (com sinal) da sombra de na direção de . A fórmula é
Aqui
é o produto escalar e
é a norma de
.
- Menor ângulo entre vetores: a fórmula que liga produto escalar ao ângulo
entre e é
logo
Para obter
usamos
.
- Direção de um vetor no plano: o ângulo
que o vetor faz com o eixo (eixo das ) é dado por
quando o vetor está no primeiro quadrante (aqui ambos têm componentes positivas). O sentido é do ponto de origem para a ponta do vetor (ou seja, na direção do ângulo calculado).
- Normalizar um vetor: o vetor unitário (direção com norma 1) correspondente a
é
ou seja, divide-se cada componente pela norma.
Agora aplicamos tudo isso aos nossos vetores.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando a definição:
Fazendo as multiplicações:
Passo 4
Calcular as normas de
e
.
Para
:
Para
:
Observação prática: ambos têm norma
. Isso facilita contas.
Passo 5
Agora a) calculando a projeção escalar de
sobre
pela fórmula
Substituindo
e
:
Em forma decimal isso é
.
Explicação didática: isto significa que se você projetar
na direção de
a “sombra” tem comprimento
nessa direção.
Passo 6
Agora b) o menor ângulo entre
e
. Usamos
Substituindo
e
:
Então
Valor numérico (para usar na prova escreva a forma exata e uma aproximação):
Se preferir em radianos:
Breve intuição: como o cosseno é muito próximo de 1 (
), o ângulo é pequeno — os vetores estão bem alinhados.
Passo 7
Agora c) direção e sentido de cada vetor. Direção = ângulo com o eixo
; sentido = para onde o vetor aponta ao longo dessa direção.
Para
: o ângulo
com o eixo
(primeiro quadrante) é
Valor numérico:
Sentido: como ambas as componentes são positivas, o sentido é do origem para a ponta no primeiro quadrante (ou seja, apontando para a direção
a partir do eixo
, para cima e à direita).
Para
: o ângulo
é
Valor numérico:
Sentido: também do origem para a ponta no primeiro quadrante (para cima e à direita), na direção
.
Observação: esses dois ângulos diferem em aproximadamente
, que coincide com o ângulo achado no passo anterior — bom sinal de consistência.
Passo 8
Agora d) normalizar os vetores. Usamos a fórmula do vetor unitário:
Como
, dividimos cada componente por
.
Para
:
Para
:
Verificação rápida (útil na prova): calcular a norma de
mesma verificação vale para
.
Resposta
a)
b) (≈
rad)
c) Direção/sentido de : ângulo
, sentido do origem para
(1.º quadrante).
Direção/sentido de : ângulo
, sentido do origem para
(1.º quadrante).
d) Vetores normalizados: e
.
b)
c) Direção/sentido de
Direção/sentido de
d) Vetores normalizados: