Questão 3. [2 pts] Considere os vetores \vec{A}=3 \hat{i}+4 \hat{j} e \vec{B}=4 \hat{i}+3 \hat{j}.
a) Qual a projeção escalar do vetor \vec{A} no vetor \vec{B} ?
b) Qual o menor ângulo entre os vetores \vec{A} e \vec{B} ?
c) Encontre a direção/sentido dos vetores \vec{A} e \vec{B}.
d) Normalize os vetores \vec{A} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores
\vec{A}=3\hat{i}+4\hat{j}
\vec{B}=4\hat{i}+3\hat{j}
e pede quatro coisas:
a) a projeção escalar de \vec{A} sobre \vec{B};
b) o menor ângulo entre \vec{A} e \vec{B};
c) a direção e o sentido dos vetores \vec{A} e \vec{B};
d) normalizar os vetores \vec{A} e \vec{B}.
Dados relevantes anotados: as componentes de \vec{A} e \vec{B} (mostradas acima). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos úteis (passo-a-passo, sem pular nada):
  1. Produto escalar (dot product): para dois vetores no plano \vec{U}=U_x\hat{i}+U_y\hat{j} e \vec{V}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}, o produto escalar é
\vec{U}\cdot\vec{V}=U_xV_x+U_yV_y.
Aqui U_x,V_x são as componentes na direção \hat{i} e U_y,V_y as componentes na direção \hat{j}.
  1. Norma (magnitude) de um vetor: para \vec{U}=U_x\hat{i}+U_y\hat{j},
\lVert \vec{U}\rVert=\sqrt{U_x^2+U_y^2}.
Isto dá o comprimento do vetor.
  1. Projeção escalar de \vec{A} sobre \vec{B}: é o comprimento (com sinal) da sombra de \vec{A} na direção de \vec{B}. A fórmula é
\text{proj}_{\vec{B}}\!\vec{A}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{B}\rVert}.
Aqui \vec{A}\cdot\vec{B} é o produto escalar e \lVert\vec{B}\rVert é a norma de \vec{B}.
  1. Menor ângulo entre vetores: a fórmula que liga produto escalar ao ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B} é
\vec{A}\cdot\vec{B}=\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta,
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\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}.
Para obter \theta usamos \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).
  1. Direção de um vetor no plano: o ângulo \varphi que o vetor faz com o eixo x (eixo das \hat{i}) é dado por
\varphi=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
quando o vetor está no primeiro quadrante (aqui ambos têm componentes positivas). O sentido é do ponto de origem para a ponta do vetor (ou seja, na direção do ângulo calculado).
  1. Normalizar um vetor: o vetor unitário (direção com norma 1) correspondente a \vec{U} é
\hat{u}=\frac{\vec{U}}{\lVert\vec{U}\rVert},
ou seja, divide-se cada componente pela norma.
Agora aplicamos tudo isso aos nossos vetores.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B} usando a definição:
\vec{A}\cdot\vec{B}=3\cdot 4 + 4\cdot 3.
Fazendo as multiplicações:
\vec{A}\cdot\vec{B}=12+12=24.

Passo 4

Calcular as normas de \vec{A} e \vec{B}.
Para \vec{A}=3\hat{i}+4\hat{j}:
\lVert\vec{A}\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Para \vec{B}=4\hat{i}+3\hat{j}:
\lVert\vec{B}\rVert=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Observação prática: ambos têm norma 5. Isso facilita contas.

Passo 5

Agora a) calculando a projeção escalar de \vec{A} sobre \vec{B} pela fórmula
\text{proj}_{\vec{B}}\!\vec{A}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{B}\rVert}.
Substituindo \vec{A}\cdot\vec{B}=24 e \lVert\vec{B}\rVert=5:
\text{proj}_{\vec{B}}\!\vec{A}=\frac{24}{5}.
Em forma decimal isso é \dfrac{24}{5}=4{,}8.
Explicação didática: isto significa que se você projetar \vec{A} na direção de \vec{B} a “sombra” tem comprimento 4{,}8 nessa direção.

Passo 6

Agora b) o menor ângulo entre \vec{A} e \vec{B}. Usamos
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}.
Substituindo \vec{A}\cdot\vec{B}=24 e \lVert\vec{A}\rVert=\lVert\vec{B}\rVert=5:
\cos\theta=\frac{24}{5\cdot 5}=\frac{24}{25}=0{,}96.
Então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{24}{25}\right).
Valor numérico (para usar na prova escreva a forma exata e uma aproximação):
\theta\approx 16{,}26^\circ\quad\text{(aproximadamente)}.
Se preferir em radianos:
\theta\approx 0{,}2838\\ \text{rad}.
Breve intuição: como o cosseno é muito próximo de 1 ( 0{,}96), o ângulo é pequeno — os vetores estão bem alinhados.

Passo 7

Agora c) direção e sentido de cada vetor. Direção = ângulo com o eixo x; sentido = para onde o vetor aponta ao longo dessa direção.
Para \vec{A}=3\hat{i}+4\hat{j}: o ângulo \phi_A com o eixo x (primeiro quadrante) é
\phi_A=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
Valor numérico:
\phi_A\approx 53{,}13^\circ.
Sentido: como ambas as componentes são positivas, o sentido é do origem para a ponta no primeiro quadrante (ou seja, apontando para a direção 53{,}13^\circ a partir do eixo x, para cima e à direita).
Para \vec{B}=4\hat{i}+3\hat{j}: o ângulo \phi_B é
\phi_B=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right).
Valor numérico:
\phi_B\approx 36{,}87^\circ.
Sentido: também do origem para a ponta no primeiro quadrante (para cima e à direita), na direção 36{,}87^\circ.
Observação: esses dois ângulos diferem em aproximadamente 53{,}13^\circ-36{,}87^\circ=16{,}26^\circ, que coincide com o ângulo achado no passo anterior — bom sinal de consistência.

Passo 8

Agora d) normalizar os vetores. Usamos a fórmula do vetor unitário:
\hat{a}=\frac{\vec{A}}{\lVert\vec{A}\rVert},\qquad \hat{b}=\frac{\vec{B}}{\lVert\vec{B}\rVert}.
Como \lVert\vec{A}\rVert=\lVert\vec{B}\rVert=5, dividimos cada componente por 5.
Para \vec{A}:
\hat{a}=\frac{1}{5}(3\hat{i}+4\hat{j})=\frac{3}{5}\hat{i}+\frac{4}{5}\hat{j}.
Para \vec{B}:
\hat{b}=\frac{1}{5}(4\hat{i}+3\hat{j})=\frac{4}{5}\hat{i}+\frac{3}{5}\hat{j}.
Verificação rápida (útil na prova): calcular a norma de \hat{a}
\lVert\hat{a}\rVert=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1,
mesma verificação vale para \hat{b}.

Resposta

a) \displaystyle \text{proj}_{\vec{B}}\!\vec{A}=\frac{24}{5}=4{,}8
b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{24}{25}\right)\approx16{,}26^\circ (≈ 0{,}2838 rad)
c) Direção/sentido de \vec{A}: ângulo \phi_A=\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ, sentido do origem para (3,4) (1.º quadrante).
Direção/sentido de \vec{B}: ângulo \phi_B=\arctan\!\left(\dfrac{3}{4}\right)\approx36{,}87^\circ, sentido do origem para (4,3) (1.º quadrante).
d) Vetores normalizados: \displaystyle \hat{a}=\frac{3}{5}\hat{i}+\frac{4}{5}\hat{j} e \displaystyle \hat{b}=\frac{4}{5}\hat{i}+\frac{3}{5}\hat{j}.

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