Questão 2. [2 pts] Uma partícula a 20 metros do observador e partindo do repouso, possui aceleração
unidades do S.I… Considere apenas o intervalo
.
a) Encontre a função velocidade da partícula, o instante de menor valor e o menor valor da velocidade da partícula.
b) Encontre a função posição da partícula, o instante de menor distância e a menor distância da partícula ao observador.
a) Encontre a função velocidade da partícula, o instante de menor valor e o menor valor da velocidade da partícula.
b) Encontre a função posição da partícula, o instante de menor distância e a menor distância da partícula ao observador.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
Isto significa que:
Perguntas do enunciado:
a) Encontrar a função velocidade , o instante em que
atinge o menor valor e esse menor valor de velocidade.
b) Encontrar a função posição , o instante em que a distância ao observador é mínima e qual é essa menor distância.
a) Encontrar a função velocidade
b) Encontrar a função posição
Passo 2
Vamos achar
integrando a aceleração. Lembrete didático rápido: integração é o processo inverso da derivação. Se
, então
onde
é a constante de integração que determinamos com condição inicial. Para funções polinomiais usamos a regra básica:
Aplicando isso em
:
Calcule cada termo:
Portanto
Usamos a condição
para achar
:
Logo
Passo 3
Agora encontramos o instante de menor valor de
. Ideia: extremos de uma função ocorrem quando sua derivada é zero (ou não existe). Como
, procuramos
tal que
:
Para saber se é mínimo, verificamos a segunda derivada de
. Como
e
para todo
, o ponto crítico é um mínimo. Então o instante de menor velocidade é
s.
Agora calculamos o valor mínimo
. Substituindo em
:
Calcule passo a passo:
portanto
Passo 4
Agora determinamos
integrando
. Novamente, integração é a operação inversa da derivação. Como
,
Integramos termo a termo:
Logo
Usamos a condição
para achar
:
Portanto
Passo 5
Procuramos o instante de menor distância ao observador. Como
, pontos críticos de
são soluções de
. Resolvendo
obtemos as raízes
Devemos identificar qual desses é mínimo. Usamos a segunda derivada
:
- Em
: , logo é um ponto de máximo local (a distância começa em 20 m e inicialmente diminui). - Em
: calcule :
portanto
s é um mínimo local. Como para
a posição cresce muito (termo
domina), esse mínimo local é o mínimo global para
. Assim o instante de menor distância é
s.
Agora calculamos a menor distância
. Substituindo em
:
Calcule passo a passo:
Agora subtrai:
Somando com
(colocando
sobre denominador
:
):
Se quiser valor decimal aproximado,
Resposta
a)
. Instante de menor velocidade:
. Menor velocidade:
b)
. Instante de menor distância:
. Menor distância: