Questão 2. [2 pts] Uma partícula a 20 metros do observador e partindo do repouso, possui aceleração a(t)=18 t-4 \mathrm{em} unidades do S.I… Considere apenas o intervalo t \geq 0.
a) Encontre a função velocidade da partícula, o instante de menor valor e o menor valor da velocidade da partícula.
b) Encontre a função posição da partícula, o instante de menor distância e a menor distância da partícula ao observador.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
\text{Aceleração: }a(t)=18t-4\quad(\text{unidades do S.I.}),\quad t\ge 0.çã
\text{No instante }t=0\text{ a partícula está a }20\text{ metros do observador e parte do repouso.}íá
Isto significa que:
s(0)=20\quad\text{e}\quad v(0)=0.
Perguntas do enunciado:
a) Encontrar a função velocidade v(t), o instante em que v(t) atinge o menor valor e esse menor valor de velocidade.
b) Encontrar a função posição s(t), o instante em que a distância ao observador é mínima e qual é essa menor distância.

Passo 2

Vamos achar v(t) integrando a aceleração. Lembrete didático rápido: integração é o processo inverso da derivação. Se a(t)=v'(t), então
v(t)=\int a(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração que determinamos com condição inicial. Para funções polinomiais usamos a regra básica:
\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aplicando isso em a(t)=18t-4:
v(t)=\int (18t-4)\,dt = \int 18t\,dt - \int 4\,dt.
Calcule cada termo:
\int 18t\,dt = 18\cdot\frac{t^2}{2}=9t^2,
\int 4\,dt = 4t.
Portanto
v(t)=9t^2-4t + C.
Usamos a condição v(0)=0 para achar C:
v(0)=9\cdot0^2-4\cdot0 + C = C = 0.
Logo
v(t)=9t^2-4t.

Passo 3

Agora encontramos o instante de menor valor de v(t). Ideia: extremos de uma função ocorrem quando sua derivada é zero (ou não existe). Como v'(t)=a(t), procuramos t tal que a(t)=0:
a(t)=18t-4=0 \quad\Rightarrow\quad 18t=4 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}\\ \text{(s)}.
Para saber se é mínimo, verificamos a segunda derivada de v. Como v''(t)=a'(t) e
a'(t)=\frac{d}{dt}(18t-4)=18>0
para todo t, o ponto crítico é um mínimo. Então o instante de menor velocidade é t=\frac{2}{9} s.
Agora calculamos o valor mínimo v_{\min}=v\!\left(\frac{2}{9}\right). Substituindo em v(t)=9t^2-4t:
v\!\left(\frac{2}{9}\right)=9\left(\frac{2}{9}\right)^2 -4\left(\frac{2}{9}\right).
Calcule passo a passo:
\left(\frac{2}{9}\right)^2=\frac{4}{81},
9\cdot\frac{4}{81}=\frac{36}{81}=\frac{4}{9},
4\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{9},
portanto
v\!\left(\frac{2}{9}\right)=\frac{4}{9}-\frac{8}{9}=-\frac{4}{9}\\ \text{(m/s)}.

Passo 4

Agora determinamos s(t) integrando v(t). Novamente, integração é a operação inversa da derivação. Como v(t)=s'(t),
s(t)=\int v(t)\,dt + C = \int (9t^2-4t)\,dt + C.
Integramos termo a termo:
\int 9t^2\,dt = 9\cdot\frac{t^3}{3}=3t^3,
\int 4t\,dt =4\cdot\frac{t^2}{2}=2t^2.
Logo
s(t)=3t^3-2t^2 + C.
Usamos a condição s(0)=20 para achar C:
s(0)=3\cdot0^3-2\cdot0^2 + C = C = 20.
Portanto
s(t)=3t^3-2t^2+20.

Passo 5

Procuramos o instante de menor distância ao observador. Como s'(t)=v(t), pontos críticos de s são soluções de v(t)=0. Resolvendo
v(t)=9t^2-4t = t(9t-4)=0
obtemos as raízes
t=0\quad\text{e}\quad t=\frac{4}{9}\\ \text{(s)}.
Devemos identificar qual desses é mínimo. Usamos a segunda derivada s''(t)=a(t)=18t-4:
  • Em t=0: s''(0)=18\cdot0-4=-4<0, logo t=0 é um ponto de máximo local (a distância começa em 20 m e inicialmente diminui).
  • Em t=\frac{4}{9}: calcule s'':
s''\!\left(\frac{4}{9}\right)=18\cdot\frac{4}{9}-4=8-4=4>0,
portanto t=\frac{4}{9} s é um mínimo local. Como para t\to\infty a posição cresce muito (termo 3t^3 domina), esse mínimo local é o mínimo global para t\ge0. Assim o instante de menor distância é t=\frac{4}{9} s.
Agora calculamos a menor distância s\!\left(\frac{4}{9}\right). Substituindo em s(t)=3t^3-2t^2+20:
s\!\left(\frac{4}{9}\right)=3\left(\frac{4}{9}\right)^3 -2\left(\frac{4}{9}\right)^2 +20.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{4}{9}\right)^2=\frac{16}{81},\qquad \left(\frac{4}{9}\right)^3=\frac{64}{729}.
3\cdot\frac{64}{729}=\frac{192}{729},\qquad 2\cdot\frac{16}{81}=\frac{32}{81}=\frac{288}{729}.
Agora subtrai:
\frac{192}{729}-\frac{288}{729}=-\frac{96}{729}=-\frac{32}{243}.
Somando com 20 (colocando 20 sobre denominador 243: 20=\frac{4860}{243}):
s\!\left(\frac{4}{9}\right)=20-\frac{32}{243}=\frac{4860-32}{243}=\frac{4828}{243}\\ \text{(m)}.
Se quiser valor decimal aproximado,
\frac{4828}{243}\approx 19,8683\\ \text{m}.

Resposta

a) v(t)=9t^2-4t. Instante de menor velocidade: t=\dfrac{2}{9}\\ \text{s}. Menor velocidade: v_{\min}=-\dfrac{4}{9}\\ \text{m/s}.
b) s(t)=3t^3-2t^2+20. Instante de menor distância: t=\dfrac{4}{9}\\ \text{s}. Menor distância: s\!\left(\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{4828}{243}\\ \text{m}\\ \left(\approx 19{,}8683\\ \text{m}\right).

Exercícios relacionados